Номер 5.109, страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.109. Упростите выражение:

1) $ \frac{x^3}{8} - \frac{x^2y}{4} + \frac{xy^2}{6} - \frac{y^3}{27} $

2) $ \frac{125m^3}{27} + \frac{125m^2n}{6} + \frac{125mn^2}{4} + \frac{125n^3}{8} $

3) $ 0,008a^3-0,6a^2b+15ab^2-125b^3 $

4) $ 0,027x^3+1,08x^2y+14,4xy^2+64y^3 $

1) Данное выражение $ \frac{x^3}{8} - \frac{x^2y}{4} + \frac{xy^2}{6} - \frac{y^3}{27} $ является разложением формулы куба разности: $ a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3 $.

Определим значения $a$ и $b$.

Первый член: $ a^3 = \frac{x^3}{8} = (\frac{x}{2})^3 $, следовательно, $ a = \frac{x}{2} $.

Последний член: $ b^3 = \frac{y^3}{27} = (\frac{y}{3})^3 $, следовательно, $ b = \frac{y}{3} $.

Теперь проверим средние члены выражения, подставив $a$ и $b$ в формулу.

Второй член: $ -3a^2b = -3 \cdot (\frac{x}{2})^2 \cdot (\frac{y}{3}) = -3 \cdot \frac{x^2}{4} \cdot \frac{y}{3} = -\frac{3x^2y}{12} = -\frac{x^2y}{4} $. Этот член совпадает с данным в выражении.

Третий член: $ 3ab^2 = 3 \cdot \frac{x}{2} \cdot (\frac{y}{3})^2 = 3 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{y^2}{9} = \frac{3xy^2}{18} = \frac{xy^2}{6} $. Этот член также совпадает.

Таким образом, все члены выражения соответствуют формуле куба разности.

$ \frac{x^3}{8} - \frac{x^2y}{4} + \frac{xy^2}{6} - \frac{y^3}{27} = (\frac{x}{2})^3 - 3 \cdot (\frac{x}{2})^2 \cdot \frac{y}{3} + 3 \cdot \frac{x}{2} \cdot (\frac{y}{3})^2 - (\frac{y}{3})^3 = (\frac{x}{2} - \frac{y}{3})^3 $.

Ответ: $ (\frac{x}{2} - \frac{y}{3})^3 $.

2) Данное выражение $ \frac{125m^3}{27} + \frac{125m^2n}{6} + \frac{125mn^2}{4} + \frac{125n^3}{8} $ является разложением формулы куба суммы: $ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3 $.

Определим значения $a$ и $b$.

Первый член: $ a^3 = \frac{125m^3}{27} = (\frac{5m}{3})^3 $, следовательно, $ a = \frac{5m}{3} $.

Последний член: $ b^3 = \frac{125n^3}{8} = (\frac{5n}{2})^3 $, следовательно, $ b = \frac{5n}{2} $.

Проверим средние члены выражения.

Второй член: $ 3a^2b = 3 \cdot (\frac{5m}{3})^2 \cdot \frac{5n}{2} = 3 \cdot \frac{25m^2}{9} \cdot \frac{5n}{2} = \frac{3 \cdot 25 \cdot 5 \cdot m^2n}{9 \cdot 2} = \frac{375m^2n}{18} = \frac{125m^2n}{6} $. Совпадает.

Третий член: $ 3ab^2 = 3 \cdot \frac{5m}{3} \cdot (\frac{5n}{2})^2 = 3 \cdot \frac{5m}{3} \cdot \frac{25n^2}{4} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 25 \cdot mn^2}{3 \cdot 4} = \frac{375mn^2}{12} = \frac{125mn^2}{4} $. Совпадает.

Все члены выражения соответствуют формуле куба суммы.

$ \frac{125m^3}{27} + \frac{125m^2n}{6} + \frac{125mn^2}{4} + \frac{125n^3}{8} = (\frac{5m}{3})^3 + 3 \cdot (\frac{5m}{3})^2 \cdot \frac{5n}{2} + 3 \cdot \frac{5m}{3} \cdot (\frac{5n}{2})^2 + (\frac{5n}{2})^3 = (\frac{5m}{3} + \frac{5n}{2})^3 $.

Ответ: $ (\frac{5m}{3} + \frac{5n}{2})^3 $.

3) Данное выражение $ 0,008a^3 - 0,6a^2b + 15ab^2 - 125b^3 $ похоже на формулу куба разности: $ x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = (x-y)^3 $.

Определим значения $x$ и $y$.

Первый член: $ x^3 = 0,008a^3 = (0,2a)^3 $, следовательно, $ x = 0,2a $.

Последний член: $ y^3 = 125b^3 = (5b)^3 $, следовательно, $ y = 5b $.

Проверим средние члены выражения.

Второй член: $ -3x^2y = -3 \cdot (0,2a)^2 \cdot (5b) = -3 \cdot 0,04a^2 \cdot 5b = -0,6a^2b $. Совпадает.

Третий член: $ 3xy^2 = 3 \cdot (0,2a) \cdot (5b)^2 = 3 \cdot 0,2a \cdot 25b^2 = 0,6a \cdot 25b^2 = 15ab^2 $. Совпадает.

Выражение является полным кубом разности.

$ 0,008a^3 - 0,6a^2b + 15ab^2 - 125b^3 = (0,2a)^3 - 3 \cdot (0,2a)^2 \cdot 5b + 3 \cdot 0,2a \cdot (5b)^2 - (5b)^3 = (0,2a - 5b)^3 $.

Ответ: $ (0,2a - 5b)^3 $.

4) Данное выражение $ 0,027x^3 + 1,08x^2y + 14,4xy^2 + 64y^3 $ похоже на формулу куба суммы: $ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3 $.

Определим значения $a$ и $b$.

Первый член: $ a^3 = 0,027x^3 = (0,3x)^3 $, следовательно, $ a = 0,3x $.

Последний член: $ b^3 = 64y^3 = (4y)^3 $, следовательно, $ b = 4y $.

Проверим средние члены выражения.

Второй член: $ 3a^2b = 3 \cdot (0,3x)^2 \cdot (4y) = 3 \cdot 0,09x^2 \cdot 4y = 1,08x^2y $. Совпадает.

Третий член: $ 3ab^2 = 3 \cdot (0,3x) \cdot (4y)^2 = 3 \cdot 0,3x \cdot 16y^2 = 0,9x \cdot 16y^2 = 14,4xy^2 $. Совпадает.

Выражение является полным кубом суммы.

$ 0,027x^3 + 1,08x^2y + 14,4xy^2 + 64y^3 = (0,3x)^3 + 3 \cdot (0,3x)^2 \cdot 4y + 3 \cdot 0,3x \cdot (4y)^2 + (4y)^3 = (0,3x + 4y)^3 $.

Ответ: $ (0,3x + 4y)^3 $.