Номер 5.113, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.113. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b^2)^3$;

2) $(\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}y^8)^3$;

3) $(10a^3 + \frac{1}{3}b^3)^3$;

4) $(0,3a^5 + 0,5a)^3$;

5) $(0,1x^4 - \frac{1}{2}x^8)^3$;

6) $(1,5m^3 + 0,3m^4)^3$.

1) Для преобразования выражения в многочлен используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. В данном случае, первый член $a$ в формуле равен $\frac{1}{2}a$, а второй член $b$ равен $\frac{1}{3}b^2$. Подставим их в формулу: $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b^2)^3 = (\frac{1}{2}a)^3 - 3(\frac{1}{2}a)^2(\frac{1}{3}b^2) + 3(\frac{1}{2}a)(\frac{1}{3}b^2)^2 - (\frac{1}{3}b^2)^3 = \frac{1}{8}a^3 - 3 \cdot \frac{1}{4}a^2 \cdot \frac{1}{3}b^2 + 3 \cdot \frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{9}b^4 - \frac{1}{27}b^6$. Упростим коэффициенты: $\frac{1}{8}a^3 - \frac{3}{12}a^2b^2 + \frac{3}{18}ab^4 - \frac{1}{27}b^6 = \frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{4}a^2b^2 + \frac{1}{6}ab^4 - \frac{1}{27}b^6$. Ответ: $\frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{4}a^2b^2 + \frac{1}{6}ab^4 - \frac{1}{27}b^6$.

2) Для преобразования выражения в многочлен используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. В данном случае, $a = \frac{1}{6}x^2$ и $b = \frac{1}{2}y^8$. Подставим их в формулу: $(\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}y^8)^3 = (\frac{1}{6}x^2)^3 + 3(\frac{1}{6}x^2)^2(\frac{1}{2}y^8) + 3(\frac{1}{6}x^2)(\frac{1}{2}y^8)^2 + (\frac{1}{2}y^8)^3 = \frac{1}{216}x^6 + 3 \cdot \frac{1}{36}x^4 \cdot \frac{1}{2}y^8 + 3 \cdot \frac{1}{6}x^2 \cdot \frac{1}{4}y^{16} + \frac{1}{8}y^{24}$. Упростим коэффициенты: $\frac{1}{216}x^6 + \frac{3}{72}x^4y^8 + \frac{3}{24}x^2y^{16} + \frac{1}{8}y^{24} = \frac{1}{216}x^6 + \frac{1}{24}x^4y^8 + \frac{1}{8}x^2y^{16} + \frac{1}{8}y^{24}$. Ответ: $\frac{1}{216}x^6 + \frac{1}{24}x^4y^8 + \frac{1}{8}x^2y^{16} + \frac{1}{8}y^{24}$.

3) Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Подставим $a = 10a^8$ и $b = \frac{1}{3}b^3$: $(10a^8 + \frac{1}{3}b^3)^3 = (10a^8)^3 + 3(10a^8)^2(\frac{1}{3}b^3) + 3(10a^8)(\frac{1}{3}b^3)^2 + (\frac{1}{3}b^3)^3 = 1000a^{24} + 3 \cdot 100a^{16} \cdot \frac{1}{3}b^3 + 3 \cdot 10a^8 \cdot \frac{1}{9}b^6 + \frac{1}{27}b^9$. Упростим коэффициенты: $1000a^{24} + 100a^{16}b^3 + \frac{30}{9}a^8b^6 + \frac{1}{27}b^9 = 1000a^{24} + 100a^{16}b^3 + \frac{10}{3}a^8b^6 + \frac{1}{27}b^9$. Ответ: $1000a^{24} + 100a^{16}b^3 + \frac{10}{3}a^8b^6 + \frac{1}{27}b^9$.

4) Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Подставим $a = 0.3a^5$ и $b = 0.5a$: $(0.3a^5 + 0.5a)^3 = (0.3a^5)^3 + 3(0.3a^5)^2(0.5a) + 3(0.3a^5)(0.5a)^2 + (0.5a)^3 = 0.027a^{15} + 3 \cdot 0.09a^{10} \cdot 0.5a + 3 \cdot 0.3a^5 \cdot 0.25a^2 + 0.125a^3$. Выполним умножение: $0.027a^{15} + 0.135a^{11} + 0.225a^7 + 0.125a^3$. Ответ: $0.027a^{15} + 0.135a^{11} + 0.225a^7 + 0.125a^3$.

5) Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Подставим $a = 0.1x^4$ и $b = \frac{1}{2}x^3 = 0.5x^3$: $(0.1x^4 - 0.5x^3)^3 = (0.1x^4)^3 - 3(0.1x^4)^2(0.5x^3) + 3(0.1x^4)(0.5x^3)^2 - (0.5x^3)^3 = 0.001x^{12} - 3 \cdot 0.01x^8 \cdot 0.5x^3 + 3 \cdot 0.1x^4 \cdot 0.25x^6 - 0.125x^9$. Выполним умножение: $0.001x^{12} - 0.015x^{11} + 0.075x^{10} - 0.125x^9$. Ответ: $0.001x^{12} - 0.015x^{11} + 0.075x^{10} - 0.125x^9$.

6) Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Подставим $a = 1.5m^3$ и $b = 0.3m^4$: $(1.5m^3 + 0.3m^4)^3 = (1.5m^3)^3 + 3(1.5m^3)^2(0.3m^4) + 3(1.5m^3)(0.3m^4)^2 + (0.3m^4)^3 = 3.375m^9 + 3 \cdot 2.25m^6 \cdot 0.3m^4 + 3 \cdot 1.5m^3 \cdot 0.09m^8 + 0.027m^{12}$. Выполним умножение и сложение степеней: $3.375m^9 + 2.025m^{10} + 0.405m^{11} + 0.027m^{12}$. Расположим члены многочлена по убыванию степеней переменной $m$: $0.027m^{12} + 0.405m^{11} + 2.025m^{10} + 3.375m^9$. Ответ: $0.027m^{12} + 0.405m^{11} + 2.025m^{10} + 3.375m^9$.