Номер 5.116, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.116. Решите уравнение:

1) $(x+2)^3 = x^3+8;$

2) $(3x-1)^3 = 27x^3-1.$

1) Исходное уравнение: $(x+2)^3 = x^3+8$.

Для решения раскроем левую часть уравнения, используя формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

В данном случае $a=x$ и $b=2$.

$(x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = x^3 + 8$.

Вычтем из обеих частей уравнения $x^3$ и $8$:

$6x^2 + 12x = 0$.

Вынесем общий множитель $6x$ за скобки:

$6x(x+2) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

$6x = 0$ или $x+2=0$.

Из первого уравнения получаем $x=0$.

Из второго уравнения получаем $x=-2$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x=0; x=-2$.

2) Исходное уравнение: $(3x-1)^3 = 27x^3-1$.

Для решения раскроем левую часть уравнения, используя формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В данном случае $a=3x$ и $b=1$.

$(3x-1)^3 = (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3x \cdot 1^2 - 1^3 = 27x^3 - 3 \cdot 9x^2 + 9x - 1 = 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 = 27x^3 - 1$.

Вычтем из обеих частей уравнения $27x^3$ и прибавим $1$:

$-27x^2 + 9x = 0$.

Вынесем общий множитель $9x$ за скобки:

$9x(-3x+1) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

$9x=0$ или $-3x+1=0$.

Из первого уравнения получаем $x=0$.

Из второго уравнения получаем $3x=1$, откуда $x = \frac{1}{3}$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x=0; x=\frac{1}{3}$.