Номер 5.122, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.122. Решите уравнение:

1) $6(x+1)^2+2(x-1)(x^2+x+1)-2(x+1)^3=32;$

2) $5x(x-3)^2-5(x-1)^3+15(x+2)(x-2)=5;$

3) $(x+2)^3-x(3x+1)^2+(2x+1)(4x^2-2x+1)=42.$

1) Рассмотрим уравнение $6(x+1)^2+2(x-1)(x^2+x+1)-2(x+1)^3=32$.

Для упрощения уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения:

• Разность кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$. В нашем случае $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1^3=x^3-1$.
• Квадрат суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. В нашем случае $(x+1)^2=x^2+2x+1$.
• Куб суммы: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. В нашем случае $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$6(x^2+2x+1) + 2(x^3-1) - 2(x^3+3x^2+3x+1) = 32$.

Теперь раскроем скобки:

$6x^2+12x+6 + 2x^3-2 - 2x^3-6x^2-6x-2 = 32$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2x^3-2x^3) + (6x^2-6x^2) + (12x-6x) + (6-2-2) = 32$.

$0 + 0 + 6x + 2 = 32$.

Получаем простое линейное уравнение:

$6x+2 = 32$.

$6x = 32 - 2$.

$6x = 30$.

$x = \frac{30}{6}$.

$x = 5$.

Ответ: 5.

2) Рассмотрим уравнение $5x(x-3)^2-5(x-1)^3+15(x+2)(x-2)=5$.

Применим формулы сокращенного умножения для раскрытия скобок:

• Квадрат разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. В нашем случае $(x-3)^2=x^2-6x+9$.
• Куб разности: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$. В нашем случае $(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1$.
• Разность квадратов: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. В нашем случае $(x+2)(x-2)=x^2-4$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$5x(x^2-6x+9) - 5(x^3-3x^2+3x-1) + 15(x^2-4) = 5$.

Раскроем скобки:

$(5x^3-30x^2+45x) - (5x^3-15x^2+15x-5) + (15x^2-60) = 5$.

$5x^3-30x^2+45x - 5x^3+15x^2-15x+5 + 15x^2-60 = 5$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5x^3-5x^3) + (-30x^2+15x^2+15x^2) + (45x-15x) + (5-60) = 5$.

$0 + 0 + 30x - 55 = 5$.

Решим полученное линейное уравнение:

$30x = 5 + 55$.

$30x = 60$.

$x = \frac{60}{30}$.

$x = 2$.

Ответ: 2.

3) Рассмотрим уравнение $(x+2)^3-x(3x+1)^2+(2x+1)(4x^2-2x+1)=42$.

Используем формулы сокращенного умножения:

• Куб суммы: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. В нашем случае $(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8$.
• Квадрат суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. В нашем случае $(3x+1)^2=9x^2+6x+1$.
• Сумма кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$. В нашем случае $(2x+1)((2x)^2-2x\cdot1+1^2)=(2x)^3+1^3=8x^3+1$.

Подставим раскрытые выражения в уравнение:

$(x^3+6x^2+12x+8) - x(9x^2+6x+1) + (8x^3+1) = 42$.

Раскроем скобки:

$x^3+6x^2+12x+8 - 9x^3-6x^2-x + 8x^3+1 = 42$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^3-9x^3+8x^3) + (6x^2-6x^2) + (12x-x) + (8+1) = 42$.

$0 + 0 + 11x + 9 = 42$.

Решим полученное уравнение:

$11x = 42 - 9$.

$11x = 33$.

$x = \frac{33}{11}$.

$x = 3$.

Ответ: 3.