Номер 5.124, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.124. Представьте выражения $(a+b)^3$, $(a-b)^3$ в виде многочлена.

(a+b)³

Чтобы представить выражение $(a+b)^3$ в виде многочлена, нужно раскрыть скобки. Это можно сделать, последовательно умножая $(a+b)$ само на себя три раза. Данное выражение также известно как формула "куб суммы".

Представим степень как произведение:

$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a+b)(a+b)^2$

Сначала раскроем квадрат суммы $(a+b)^2$, используя формулу $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Теперь подставим полученный многочлен обратно в выражение:

$(a+b)(a^2 + 2ab + b^2)$

Далее умножим каждый член первой скобки на многочлен во второй скобке:

$a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)$

Раскроем скобки:

$a^3 + 2a^2b + ab^2 + ba^2 + 2b^2a + b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (помним, что $ba^2 = a^2b$ и $b^2a = ab^2$):

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3$

В результате получаем:

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Ответ: $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

(a-b)³

Аналогично первому случаю, для раскрытия выражения $(a-b)^3$ можно использовать формулу "куб разности" или выполнить последовательное умножение.

$(a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2$

Сначала раскроем квадрат разности $(a-b)^2$, используя формулу $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Подставим результат в исходное выражение:

$(a-b)(a^2 - 2ab + b^2)$

Умножим каждый член первой скобки на многочлен во второй скобке:

$a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$a^3 - 2a^2b + ab^2 - (ba^2 - 2b^2a + b^3)$

$a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3$

В результате получаем:

$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Ответ: $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$