Номер 5.127, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.127. Найдите такие натуральные числа n и k, чтобы выполнялось равенство $kn^2-n^2-kn+n=74$.

Для решения данного уравнения в натуральных числах $n$ и $k$ преобразуем его левую часть, разложив ее на множители. Исходное уравнение: $kn^2 - n^2 - kn + n = 74$.

Сгруппируем слагаемые и последовательно вынесем общие множители за скобки:

$(kn^2 - n^2) - (kn - n) = 74$

$n^2(k-1) - n(k-1) = 74$

$(k-1)(n^2 - n) = 74$

$(k-1)n(n-1) = 74$

По условию, $n$ и $k$ — натуральные числа, то есть $n \ge 1$ и $k \ge 1$. Если предположить, что $n=1$ или $k=1$, то левая часть уравнения обращается в 0, что не равно 74. Следовательно, $n \ge 2$ и $k \ge 2$. Это означает, что множители $(k-1)$, $n$ и $(n-1)$ являются натуральными числами (то есть целыми и положительными).

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти три натуральных числа, произведение которых равно 74. Ключевым условием является то, что два из этих числа, $n$ и $n-1$, должны быть последовательными.

Разложим число 74 на простые множители: $74 = 2 \times 37$.

Теперь найдем все возможные наборы из трех натуральных чисел, произведение которых дает 74. Таких наборов всего два (с точностью до перестановки множителей):

1. $\{1, 1, 74\}$

2. $\{1, 2, 37\}$

Проанализируем каждый случай для набора множителей $\{k-1, n, n-1\}$.

В первом случае, для набора $\{1, 1, 74\}$, нет пары последовательных натуральных чисел. Следовательно, этот вариант не подходит, так как множители $n$ и $n-1$ должны быть последовательными.

Во втором случае, для набора $\{1, 2, 37\}$, есть только одна пара последовательных натуральных чисел: 1 и 2. Это означает, что именно они должны соответствовать множителям $n-1$ и $n$. Так как $n > n-1$, получаем:

$n-1 = 1 \implies n=2$

$n = 2$

Оставшийся множитель $(k-1)$ должен быть равен оставшемуся числу из набора, то есть 37:

$k-1 = 37 \implies k=38$

Таким образом, мы нашли единственное возможное решение в натуральных числах: $n=2$ и $k=38$.

Проведем проверку, подставив найденные значения в исходное равенство:

$38 \cdot 2^2 - 2^2 - 38 \cdot 2 + 2 = 38 \cdot 4 - 4 - 76 + 2 = 152 - 4 - 76 + 2 = 148 - 76 + 2 = 72 + 2 = 74$.

$74 = 74$. Равенство выполняется, значит, решение найдено верно.

Ответ: $n=2, k=38$.