Номер 5.128, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.128. Разложите на множители:

1) $(x+y)^2-z^2+x+y+z;$

2) $a^4-a^3b+ab^3-b^4.$

1) $(x+y)^2 - z^2 + x + y + z$

Для разложения на множители данного выражения сгруппируем слагаемые. Первые два слагаемых $(x+y)^2 - z^2$ представляют собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = (x+y)$ и $b = z$. Получаем:

$(x+y)^2 - z^2 = (x+y-z)(x+y+z)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(x+y-z)(x+y+z) + x+y+z$

Сгруппируем последние три слагаемых, чтобы увидеть общий множитель:

$(x+y-z)(x+y+z) + (x+y+z)$

Теперь вынесем общий множитель $(x+y+z)$ за скобки:

$(x+y+z)((x+y-z) + 1)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x+y+z)(x+y-z+1)$

Ответ: $(x+y+z)(x+y-z+1)$

2) $a^4 - a^3b + ab^3 - b^4$

Для разложения на множители этого многочлена воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым.

$(a^4 - a^3b) + (ab^3 - b^4)$

Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой скобки вынесем $a^3$, а из второй $b^3$.

$a^3(a - b) + b^3(a - b)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(a-b)$. Вынесем его за скобки.

$(a-b)(a^3 + b^3)$

Выражение в скобках $(a^3 + b^3)$ является суммой кубов. Применим формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

Подставим это разложение в наше выражение, чтобы получить окончательный ответ:

$(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$