Номер 5.132, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.132. Разложите на множители:

1) $xy^2+x^2y^3$;

2) $a^4b^2-a^2b^4$;

3) $m^2n^2+mn^3$;

4) $a^3b^2+a^5b^3$;

5) $c^3d^2-c^4d^2$;

6) $-x^5y^3-x^3y^5$.

1) Чтобы разложить на множители выражение $xy^2+x^2y^3$, необходимо найти и вынести за скобки общий множитель. Общий множитель состоит из переменных, входящих в каждое слагаемое, взятых в наименьшей из имеющихся степеней.

Для переменной $x$ наименьшая степень - это $x^1=x$.

Для переменной $y$ наименьшая степень - это $y^2$.

Таким образом, общий множитель для всего выражения — это $xy^2$.

Выносим $xy^2$ за скобки, разделив каждый член выражения на $xy^2$:

$xy^2+x^2y^3 = xy^2(\frac{xy^2}{xy^2} + \frac{x^2y^3}{xy^2}) = xy^2(1+xy)$.

Ответ: $xy^2(1+xy)$.

2) Разложим на множители выражение $a^4b^2-a^2b^4$.

Найдем общий множитель для слагаемых.

Для переменной $a$: наименьшая степень $a^2$.

Для переменной $b$: наименьшая степень $b^2$.

Общий множитель — $a^2b^2$.

Выносим его за скобки:

$a^4b^2-a^2b^4 = a^2b^2(a^2-b^2)$.

Выражение в скобках $a^2-b^2$ является разностью квадратов. Применим формулу сокращенного умножения $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

Таким образом, $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Окончательное разложение на множители: $a^2b^2(a-b)(a+b)$.

Ответ: $a^2b^2(a-b)(a+b)$.

3) Разложим на множители выражение $m^2n^2+mn^3$.

Найдем общий множитель, вынося переменные в наименьших степенях.

Для $m$: наименьшая степень $m$.

Для $n$: наименьшая степень $n^2$.

Общий множитель — $mn^2$.

Выносим его за скобки:

$m^2n^2+mn^3 = mn^2(m+n)$.

Ответ: $mn^2(m+n)$.

4) Разложим на множители выражение $a^3b^2+a^5b^3$.

Найдем общий множитель.

Для $a$: наименьшая степень $a^3$.

Для $b$: наименьшая степень $b^2$.

Общий множитель — $a^3b^2$.

Выносим его за скобки:

$a^3b^2+a^5b^3 = a^3b^2(1+a^2b)$.

Ответ: $a^3b^2(1+a^2b)$.

5) Разложим на множители выражение $c^3d^2-c^4d^2$.

Найдем общий множитель.

Для $c$: наименьшая степень $c^3$.

Для $d$: степень одинакова и равна $d^2$.

Общий множитель — $c^3d^2$.

Выносим его за скобки:

$c^3d^2-c^4d^2 = c^3d^2(1-c)$.

Ответ: $c^3d^2(1-c)$.

6) Разложим на множители выражение $-x^5y^3-x^3y^5$.

Найдем общий множитель для слагаемых. Удобно вынести за скобки множитель со знаком минус.

Для переменной $x$: наименьшая степень $x^3$.

Для переменной $y$: наименьшая степень $y^3$.

Общий множитель, который мы вынесем, будет $-x^3y^3$.

Чтобы определить выражение в скобках, разделим каждый член исходного выражения на $-x^3y^3$:

$\frac{-x^5y^3}{-x^3y^3} = x^{5-3}y^{3-3} = x^2$

$\frac{-x^3y^5}{-x^3y^3} = x^{3-3}y^{5-3} = y^2$

Следовательно, получаем:

$-x^5y^3-x^3y^5 = -x^3y^3(x^2+y^2)$.

Ответ: $-x^3y^3(x^2+y^2)$.