Номер 5.137, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.137. Докажите, что выражение принимает только положительное значение:

1) $a^2+2a+2;$

2) $x^2+y^2-2xy+4;$

3) $4m^2-4m+4;$

4) $a^2+b^2+c^2-2bc+3.$

1) Чтобы доказать, что выражение принимает только положительное значение, преобразуем его, выделив полный квадрат. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.

Исходное выражение: $a^2+2a+2$.

Представим его в следующем виде: $a^2+2a+2 = (a^2+2a+1)+1$.

Слагаемые в скобках образуют полный квадрат: $(a+1)^2$.

Таким образом, $a^2+2a+2 = (a+1)^2+1$.

Выражение $(a+1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(a+1)^2 \ge 0$ для любого $a$.

Следовательно, наименьшее значение выражения $(a+1)^2+1$ достигается при $(a+1)^2=0$ и равно $0+1=1$.

Так как $1 > 0$, то выражение $a^2+2a+2$ всегда положительно.

Ответ: Выражение $a^2+2a+2$ принимает значения не меньше 1, следовательно, оно всегда положительно.

2) Преобразуем выражение $x^2+y^2-2xy+4$, сгруппировав слагаемые и применив формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

$x^2+y^2-2xy+4 = (x^2-2xy+y^2)+4 = (x-y)^2+4$.

Выражение $(x-y)^2$ является квадратом действительного числа и всегда неотрицательно: $(x-y)^2 \ge 0$ для любых $x$ и $y$.

Следовательно, наименьшее значение выражения $(x-y)^2+4$ равно $0+4=4$.

Так как $4 > 0$, то выражение $x^2+y^2-2xy+4$ всегда положительно.

Ответ: Выражение $x^2+y^2-2xy+4$ принимает значения не меньше 4, следовательно, оно всегда положительно.

3) Преобразуем выражение $4m^2-4m+4$, выделив в нем полный квадрат. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

$4m^2-4m+4 = (2m)^2 - 2 \cdot 2m \cdot 1 + 1 + 3 = (4m^2-4m+1)+3 = (2m-1)^2+3$.

Выражение $(2m-1)^2$ является квадратом действительного числа и всегда неотрицательно: $(2m-1)^2 \ge 0$ для любого $m$.

Следовательно, наименьшее значение выражения $(2m-1)^2+3$ равно $0+3=3$.

Так как $3 > 0$, то выражение $4m^2-4m+4$ всегда положительно.

Ответ: Выражение $4m^2-4m+4$ принимает значения не меньше 3, следовательно, оно всегда положительно.

4) Преобразуем выражение $a^2+b^2+c^2-2bc+3$, сгруппировав слагаемые и выделив полный квадрат.

$a^2+b^2+c^2-2bc+3 = a^2 + (b^2-2bc+c^2) + 3 = a^2+(b-c)^2+3$.

Выражения $a^2$ и $(b-c)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому они всегда неотрицательны: $a^2 \ge 0$ и $(b-c)^2 \ge 0$ для любых $a, b, c$.

Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $a^2+(b-c)^2 \ge 0$.

Следовательно, наименьшее значение выражения $a^2+(b-c)^2+3$ равно $0+3=3$.

Так как $3 > 0$, то выражение $a^2+b^2+c^2-2bc+3$ всегда положительно.

Ответ: Выражение $a^2+b^2+c^2-2bc+3$ принимает значения не меньше 3, следовательно, оно всегда положительно.