Номер 5.141, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.141. Представьте выражение в виде произведения:

1) $(a+2b)^2-(3c+4d)^2;$

2) $(x-y)^2-(m+n)^2;$

3) $(m-2n)^2-(2p-3q)^2;$

4) $(2a-3c)^2-(4b+5d)^2;$

5) $9(m+n)^2-(m-n)^2;$

6) $4(a-b)^2-(a+b)^2;$

7) $16(a+b)^2-9(x+y)^2;$

8) $9(a-b)^2-4(x-y)^2;$

1) Для разложения выражения $(a+2b)^2-(3c+4d)^2$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$.

В данном случае $X = a+2b$ и $Y = 3c+4d$.

Подставим эти выражения в формулу:

$(a+2b)^2-(3c+4d)^2 = ((a+2b)-(3c+4d))((a+2b)+(3c+4d))$

Раскроем скобки внутри каждого множителя:

$(a+2b-3c-4d)(a+2b+3c+4d)$

Ответ: $(a+2b-3c-4d)(a+2b+3c+4d)$

2) Для выражения $(x-y)^2-(m+n)^2$ применим ту же формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$.

Здесь $X = x-y$ и $Y = m+n$.

$(x-y)^2-(m+n)^2 = ((x-y)-(m+n))((x-y)+(m+n))$

Упростим, раскрыв внутренние скобки:

$(x-y-m-n)(x-y+m+n)$

Ответ: $(x-y-m-n)(x-y+m+n)$

3) Выражение $(m-2n)^2-(2p-3q)^2$ также раскладывается по формуле разности квадратов.

Здесь $X = m-2n$ и $Y = 2p-3q$.

$(m-2n)^2-(2p-3q)^2 = ((m-2n)-(2p-3q))((m-2n)+(2p-3q))$

Раскроем внутренние скобки. Важно обратить внимание на знаки при вычитании второго выражения:

$(m-2n-2p+3q)(m-2n+2p-3q)$

Ответ: $(m-2n-2p+3q)(m-2n+2p-3q)$

4) Для выражения $(2a-3c)^2-(4b+5d)^2$ снова используем формулу разности квадратов.

Здесь $X = 2a-3c$ и $Y = 4b+5d$.

$(2a-3c)^2-(4b+5d)^2 = ((2a-3c)-(4b+5d))((2a-3c)+(4b+5d))$

Упростим, раскрыв скобки:

$(2a-3c-4b-5d)(2a-3c+4b+5d)$

Ответ: $(2a-3c-4b-5d)(2a-3c+4b+5d)$

5) В выражении $9(m+n)^2-(m-n)^2$ сначала представим первый член в виде квадрата.

$9(m+n)^2 = (3(m+n))^2 = (3m+3n)^2$.

Теперь выражение имеет вид $(3m+3n)^2-(m-n)^2$. Применим формулу разности квадратов, где $X = 3m+3n$ и $Y = m-n$.

$((3m+3n)-(m-n))((3m+3n)+(m-n))$

Упростим каждый множитель:

$(3m+3n-m+n)(3m+3n+m-n) = (2m+4n)(4m+2n)$

Можно вынести общий множитель 2 из каждой скобки:

$2(m+2n) \cdot 2(2m+n) = 4(m+2n)(2m+n)$

Ответ: $4(m+2n)(2m+n)$

6) В выражении $4(a-b)^2-(a+b)^2$ представим первый член как квадрат.

$4(a-b)^2 = (2(a-b))^2 = (2a-2b)^2$.

Получаем разность квадратов $(2a-2b)^2-(a+b)^2$.

Применим формулу, где $X=2a-2b$ и $Y=a+b$.

$((2a-2b)-(a+b))((2a-2b)+(a+b))$

Упростим множители:

$(2a-2b-a-b)(2a-2b+a+b) = (a-3b)(3a-b)$

Ответ: $(a-3b)(3a-b)$

7) Выражение $16(a+b)^2-9(x+y)^2$ представим в виде разности квадратов.

$16(a+b)^2 = (4(a+b))^2 = (4a+4b)^2$

$9(x+y)^2 = (3(x+y))^2 = (3x+3y)^2$

Получаем $(4a+4b)^2-(3x+3y)^2$. Применим формулу, где $X = 4a+4b$ и $Y = 3x+3y$.

$((4a+4b)-(3x+3y))((4a+4b)+(3x+3y))$

Раскроем внутренние скобки:

$(4a+4b-3x-3y)(4a+4b+3x+3y)$

Ответ: $(4a+4b-3x-3y)(4a+4b+3x+3y)$

8) Выражение $9(a-b)^2-4(x-y)^2$ представим в виде разности квадратов.

$9(a-b)^2 = (3(a-b))^2 = (3a-3b)^2$

$4(x-y)^2 = (2(x-y))^2 = (2x-2y)^2$

Получаем $(3a-3b)^2-(2x-2y)^2$. Применим формулу, где $X = 3a-3b$ и $Y = 2x-2y$.

$((3a-3b)-(2x-2y))((3a-3b)+(2x-2y))$

Раскроем внутренние скобки:

$(3a-3b-2x+2y)(3a-3b+2x-2y)$

Ответ: $(3a-3b-2x+2y)(3a-3b+2x-2y)$