Номер 5.144, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.144. Разложите на множители:

1) $(a-2b)^{4}-8(a-2b);$

3) $(a-2b)^{3}-(a+2b)^{3};$

2) $(x-3y)^{4}-27x+81y;$

4) $(2x+3y)^{3}+(3x-2y)^{3}.$

1) В выражении $(a-2b)^4-8(a-2b)$ вынесем общий множитель $(a-2b)$ за скобки:

$(a-2b)((a-2b)^3 - 8)$

Выражение во вторых скобках является разностью кубов, так как $8=2^3$. Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=a-2b$ и $y=2$.

$(a-2b)^3 - 2^3 = ((a-2b) - 2)((a-2b)^2 + (a-2b) \cdot 2 + 2^2)$

Упростим второй множитель в правой части:

$(a-2b)^2 + 2(a-2b) + 4 = (a^2-4ab+4b^2) + (2a-4b) + 4 = a^2-4ab+4b^2+2a-4b+4$

Таким образом, разложение на множители имеет вид:

$(a-2b)(a-2b-2)(a^2-4ab+4b^2+2a-4b+4)$

Ответ: $(a-2b)(a-2b-2)(a^2-4ab+4b^2+2a-4b+4)$.

2) В выражении $(x-3y)^4 - 27x + 81y$ сначала преобразуем последние два слагаемых, вынеся за скобки общий множитель $-27$:

$-27x + 81y = -27(x - 3y)$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$(x-3y)^4 - 27(x-3y)$

Вынесем общий множитель $(x-3y)$ за скобки:

$(x-3y)((x-3y)^3 - 27)$

Выражение во вторых скобках является разностью кубов, так как $27=3^3$. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=x-3y$ и $b=3$.

$(x-3y)^3 - 3^3 = ((x-3y) - 3)((x-3y)^2 + (x-3y) \cdot 3 + 3^2)$

Упростим второй множитель в правой части:

$(x-3y)^2 + 3(x-3y) + 9 = (x^2-6xy+9y^2) + (3x-9y) + 9 = x^2-6xy+9y^2+3x-9y+9$

Таким образом, разложение на множители имеет вид:

$(x-3y)(x-3y-3)(x^2-6xy+9y^2+3x-9y+9)$

Ответ: $(x-3y)(x-3y-3)(x^2-6xy+9y^2+3x-9y+9)$.

3) Выражение $(a-2b)^3 - (a+2b)^3$ представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x = a-2b$ и $y = a+2b$.

Найдем первый множитель $(x-y)$:

$x-y = (a-2b) - (a+2b) = a-2b-a-2b = -4b$

Теперь найдем второй множитель $(x^2+xy+y^2)$:

$x^2 = (a-2b)^2 = a^2-4ab+4b^2$

$xy = (a-2b)(a+2b) = a^2-4b^2$

$y^2 = (a+2b)^2 = a^2+4ab+4b^2$

Сложим эти компоненты:

$x^2+xy+y^2 = (a^2-4ab+4b^2) + (a^2-4b^2) + (a^2+4ab+4b^2) = 3a^2+4b^2$

Перемножим полученные множители:

$(-4b)(3a^2+4b^2)$

Ответ: $-4b(3a^2+4b^2)$.

4) Выражение $(2x+3y)^3 + (3x-2y)^3$ является суммой кубов. Воспользуемся формулой $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = 2x+3y$ и $b = 3x-2y$.

Найдем первый множитель $(a+b)$:

$a+b = (2x+3y) + (3x-2y) = 2x+3x+3y-2y = 5x+y$

Теперь найдем второй множитель $(a^2-ab+b^2)$:

$a^2 = (2x+3y)^2 = 4x^2+12xy+9y^2$

$b^2 = (3x-2y)^2 = 9x^2-12xy+4y^2$

$ab = (2x+3y)(3x-2y) = 6x^2-4xy+9xy-6y^2 = 6x^2+5xy-6y^2$

Подставим компоненты в $a^2-ab+b^2$:

$(4x^2+12xy+9y^2) - (6x^2+5xy-6y^2) + (9x^2-12xy+4y^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x^2+12xy+9y^2 - 6x^2-5xy+6y^2 + 9x^2-12xy+4y^2 = 7x^2-5xy+19y^2$

Перемножим полученные множители:

$(5x+y)(7x^2-5xy+19y^2)$

Ответ: $(5x+y)(7x^2-5xy+19y^2)$.