Номер 5.149, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.149. Докажите, что при любом целом $\text{n}$ значение выражения:

1) $(2n+1)^2-1$ кратно 8;

2) $n^3-n$ кратно 6.

1) Чтобы доказать, что выражение $(2n+1)^2-1$ кратно 8 при любом целом $n$, преобразуем его. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$(2n+1)^2-1^2 = ((2n+1)-1)((2n+1)+1) = (2n)(2n+2)$.

Вынесем общий множитель 2 из второй скобки:

$2n \cdot 2(n+1) = 4n(n+1)$.

Выражение $n(n+1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. При любом целом $n$ одно из чисел, $n$ или $n+1$, является четным. Следовательно, их произведение $n(n+1)$ всегда делится на 2.

Пусть $n(n+1) = 2k$, где $k$ — некоторое целое число.

Тогда исходное выражение равно $4 \cdot (2k) = 8k$.

Так как выражение можно представить в виде $8k$, оно всегда кратно 8.

Ответ: доказано.

2) Чтобы доказать, что выражение $n^3-n$ кратно 6 при любом целом $n$, разложим его на множители.

$n^3-n = n(n^2-1)$.

Применим формулу разности квадратов:

$n(n-1)(n+1)$.

Переставим множители для наглядности: $(n-1)n(n+1)$.

Это произведение трех последовательных целых чисел.

Чтобы число было кратно 6, оно должно быть одновременно кратно 2 и 3.

1. Среди трех последовательных целых чисел всегда есть как минимум одно четное число, поэтому их произведение делится на 2.

2. Среди трех последовательных целых чисел всегда есть ровно одно число, которое делится на 3, поэтому их произведение делится на 3.

Поскольку выражение делится и на 2, и на 3, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми, то оно делится и на их произведение, то есть на 6.

Ответ: доказано.