Номер 5.142, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.142. Разложите на множители:

1) $a^4-b^4$;

2) $a^6-b^6$;

3) $a^8-b^8$;

4) $a^4+a^3+a+1$;

5) $(a+b)^3 - (a-b)^3$;

6) $(a+b)^4 - (a-b)^4$.

1) Для разложения выражения $a^4-b^4$ применим формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, представив $a^4$ как $(a^2)^2$ и $b^4$ как $(b^2)^2$.

$a^4-b^4 = (a^2)^2-(b^2)^2 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$.

Множитель $a^2-b^2$ также является разностью квадратов, поэтому разложим и его: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Окончательно получаем: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

2) Выражение $a^6-b^6$ можно разложить, представив его как разность квадратов $(a^3)^2-(b^3)^2$.

$a^6-b^6 = (a^3)^2-(b^3)^2 = (a^3-b^3)(a^3+b^3)$.

Теперь применим формулы разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ и суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

Собирая все множители вместе, получаем: $(a-b)(a+b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$.

Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$.

3) Выражение $a^8-b^8$ разложим последовательным применением формулы разности квадратов.

$a^8-b^8 = (a^4)^2-(b^4)^2 = (a^4-b^4)(a^4+b^4)$.

Множитель $a^4-b^4$ мы уже раскладывали в первом задании: $a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

Подставляем полученное разложение и получаем окончательный вид:

$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$.

Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$.

4) Для разложения многочлена $a^4+a^3+a+1$ используем метод группировки слагаемых.

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $(a^4+a^3)+(a+1)$.

Вынесем общий множитель из каждой группы: $a^3(a+1)+1(a+1)$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a+1)$: $(a+1)(a^3+1)$.

Выражение $a^3+1$ является суммой кубов, которую можно разложить по формуле $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

$a^3+1 = (a+1)(a^2-a+1)$.

Подставляя это в наше выражение, получаем: $(a+1)(a+1)(a^2-a+1) = (a+1)^2(a^2-a+1)$.

Ответ: $(a+1)^2(a^2-a+1)$.

5) Данное выражение $(a+b)^3 - (a-b)^3$ является разностью кубов. Воспользуемся формулой $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Пусть $x = a+b$ и $y = a-b$.

Найдем множители:

Первый множитель: $x-y = (a+b) - (a-b) = a+b-a+b = 2b$.

Второй множитель: $x^2+xy+y^2 = (a+b)^2+(a+b)(a-b)+(a-b)^2$.

Раскроем скобки и упростим: $(a^2+2ab+b^2) + (a^2-b^2) + (a^2-2ab+b^2) = 3a^2+b^2$.

Перемножим полученные множители: $(2b)(3a^2+b^2)$.

Ответ: $2b(3a^2+b^2)$.

6) Выражение $(a+b)^4 - (a-b)^4$ является разностью квадратов, так как его можно представить в виде $((a+b)^2)^2 - ((a-b)^2)^2$. Применим формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

Пусть $x = (a+b)^2$ и $y = (a-b)^2$.

Получаем: $((a+b)^2 - (a-b)^2)((a+b)^2 + (a-b)^2)$.

Рассмотрим каждый множитель в скобках отдельно.

Первый множитель: $(a+b)^2 - (a-b)^2$. Это также разность квадратов: $((a+b)-(a-b))((a+b)+(a-b)) = (2b)(2a) = 4ab$.

Второй множитель: $(a+b)^2 + (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2) = 2a^2+2b^2 = 2(a^2+b^2)$.

Перемножим полученные результаты: $(4ab)(2(a^2+b^2)) = 8ab(a^2+b^2)$.

Ответ: $8ab(a^2+b^2)$.