Номер 5.139, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.139. Докажите тождество:

1) $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)=a^4-b^4$;

2) $(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a+b)(a-b)=a^8-b^8$.

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть, последовательно применяя формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

Сначала перемножим первые два множителя в левой части выражения:

$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

Теперь исходное выражение в левой части можно переписать, подставив полученный результат:

$(a-b)(a+b)(a^2+b^2) = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$.

Снова применим формулу разности квадратов, где в роли $x$ выступает $a^2$, а в роли $y$ — $b^2$:

$(a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4-b^4$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества и получили правую часть: $a^4-b^4$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся переместительным свойством умножения и сгруппируем множители в удобном порядке. Затем будем последовательно применять формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.

$(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a+b)(a-b) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$.

Шаг 1: Перемножим первые две скобки.

$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

Выражение примет вид:

$(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$.

Шаг 2: Перемножим первые два множителя в получившемся выражении.

$(a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4-b^4$.

Теперь выражение выглядит так:

$(a^4-b^4)(a^4+b^4)$.

Шаг 3: Выполним последнее умножение, снова используя формулу разности квадратов.

$(a^4-b^4)(a^4+b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8-b^8$.

В результате преобразования левой части мы получили правую часть, $a^8-b^8$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.