Номер 5.145, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.145. Представьте выражение в виде произведения:

1) $m^3-m^2n-mn^2+n^3$;

2) $x^5-x^3+x^2-1$;

3) $x^4+x^3-x-1$;

4) $a^4+a^3+a+1$;

5) $m^6-m^4+2m^3+2m^2$;

6) $b^3-8+6b^2-12b$.

1) Для того чтобы представить выражение $m^3 - m^2n - mn^2 + n^3$ в виде произведения, воспользуемся методом группировки слагаемых. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое, вынеся знак минус за скобки во второй группе:

$(m^3 - m^2n) - (mn^2 - n^3)$

Теперь вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $m^2$, а из второй $n^2$:

$m^2(m - n) - n^2(m - n)$

Мы получили общий множитель $(m - n)$, который можно вынести за скобки:

$(m - n)(m^2 - n^2)$

Второе выражение в скобках, $m^2 - n^2$, является разностью квадратов. Разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(m - n)(m - n)(m + n)$

Это можно записать как:

$(m - n)^2(m + n)$

Ответ: $(m - n)^2(m + n)$.

2) Разложим на множители выражение $x^5 - x^3 + x^2 - 1$. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^5 - x^3) + (x^2 - 1)$

Вынесем общий множитель $x^3$ из первой группы:

$x^3(x^2 - 1) + 1 \cdot (x^2 - 1)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x^2 - 1)$:

$(x^2 - 1)(x^3 + 1)$

Оба множителя можно разложить дальше, используя формулы разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$(x - 1)(x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)$

Сгруппировав одинаковые множители, получим окончательный ответ:

$(x - 1)(x + 1)^2(x^2 - x + 1)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)^2(x^2 - x + 1)$.

3) Представим в виде произведения выражение $x^4 + x^3 - x - 1$. Применим метод группировки:

$(x^4 + x^3) - (x + 1)$

Вынесем $x^3$ из первой группы:

$x^3(x + 1) - 1 \cdot (x + 1)$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$(x + 1)(x^3 - 1)$

Второй множитель $x^3 - 1$ является разностью кубов, которую разложим по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$(x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)$

Ответ: $(x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)$.

4) Разложим на множители выражение $a^4 + a^3 + a + 1$. Сгруппируем слагаемые:

$(a^4 + a^3) + (a + 1)$

Вынесем общий множитель $a^3$ из первой группы:

$a^3(a + 1) + 1 \cdot (a + 1)$

Вынесем общий множитель $(a + 1)$ за скобки:

$(a + 1)(a^3 + 1)$

Второй множитель $a^3 + 1$ является суммой кубов, которую разложим по формуле $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$(a + 1)(a + 1)(a^2 - a + 1)$

Сгруппировав одинаковые множители, получим:

$(a + 1)^2(a^2 - a + 1)$

Ответ: $(a + 1)^2(a^2 - a + 1)$.

5) Для разложения на множители выражения $m^6 - m^4 + 2m^3 + 2m^2$ сначала вынесем общий множитель $m^2$ за скобки:

$m^2(m^4 - m^2 + 2m + 2)$

Теперь разложим многочлен $P(m) = m^4 - m^2 + 2m + 2$. Попробуем найти его целые корни среди делителей свободного члена (числа 2), то есть $±1, ±2$.

Проверим $m = -1$: $P(-1) = (-1)^4 - (-1)^2 + 2(-1) + 2 = 1 - 1 - 2 + 2 = 0$. Значит, $(m+1)$ является одним из множителей. Разделив $m^4 - m^2 + 2m + 2$ на $(m+1)$, получим $m^3 - m^2 + 2$.

Теперь разложим многочлен $Q(m) = m^3 - m^2 + 2$. Проверим корень $m = -1$: $Q(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$. Значит, $(m+1)$ снова является множителем. Разделив $m^3 - m^2 + 2$ на $(m+1)$, получим $m^2 - 2m + 2$.

Квадратный трехчлен $m^2 - 2m + 2$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0$, и он не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Собирая все множители вместе, получаем:

$m^2(m + 1)(m + 1)(m^2 - 2m + 2) = m^2(m + 1)^2(m^2 - 2m + 2)$

Ответ: $m^2(m + 1)^2(m^2 - 2m + 2)$.

6) Представим в виде произведения выражение $b^3 - 8 + 6b^2 - 12b$. Сначала переставим слагаемые для удобства группировки:

$b^3 + 6b^2 - 12b - 8$

Сгруппируем первое слагаемое с четвертым и второе с третьим:

$(b^3 - 8) + (6b^2 - 12b)$

Первая группа является разностью кубов $b^3-2^3=(b-2)(b^2+2b+4)$. Из второй группы вынесем общий множитель $6b$:

$(b - 2)(b^2 + 2b + 4) + 6b(b - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(b - 2)$ за скобки:

$(b - 2)[(b^2 + 2b + 4) + 6b]$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(b - 2)(b^2 + 8b + 4)$

Квадратный трехчлен $b^2 + 8b + 4$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами (его дискриминант $D=8^2-4 \cdot 1 \cdot 4 = 48$ не является полным квадратом).

Ответ: $(b - 2)(b^2 + 8b + 4)$.