Номер 5.147, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.147. Представьте выражение в виде произведения:

1) $x^8+x^4+1$;

2) $x^4+x^2y^2+y^4$;

3) $a^3-3a+2$;

4) $x^3+3x^2-4$.

1) Для разложения на множители выражения $x^8+x^4+1$ воспользуемся методом выделения полного квадрата. Дополним выражение до полного квадрата суммы $(x^4+1)^2 = x^8+2x^4+1$, для этого прибавим и вычтем $x^4$.

$x^8+x^4+1 = (x^8+2x^4+1) - x^4$

Теперь первое слагаемое в скобках является полным квадратом:

$(x^8+2x^4+1) - x^4 = (x^4+1)^2 - x^4 = (x^4+1)^2 - (x^2)^2$

Мы получили разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(x^4+1)^2 - (x^2)^2 = (x^4+1-x^2)(x^4+1+x^2) = (x^4-x^2+1)(x^4+x^2+1)$

Множитель $x^4+x^2+1$ можно также разложить на множители, применив тот же метод. Дополним его до полного квадрата $(x^2+1)^2 = x^4+2x^2+1$, прибавив и вычтя $x^2$:

$x^4+x^2+1 = (x^4+2x^2+1) - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2$

Снова применяем формулу разности квадратов:

$(x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+1-x)(x^2+1+x) = (x^2-x+1)(x^2+x+1)$

Множитель $x^4-x^2+1$ является неприводимым над полем рациональных чисел. Таким образом, окончательное разложение исходного выражения на множители имеет вид:

$(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^4-x^2+1)$

Ответ: $(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^4-x^2+1)$

2) Для разложения на множители выражения $x^4+x^2y^2+y^4$ применим метод выделения полного квадрата. Чтобы получить полный квадрат $(x^2+y^2)^2 = x^4+2x^2y^2+y^4$, нам нужно слагаемое $2x^2y^2$. Прибавим и вычтем $x^2y^2$:

$x^4+x^2y^2+y^4 = (x^4+2x^2y^2+y^4) - x^2y^2$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы $x^2$ и $y^2$:

$(x^2+y^2)^2 - x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - (xy)^2$

Теперь мы имеем разность квадратов, которую раскладываем на множители по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(x^2+y^2-xy)(x^2+y^2+xy)$

Переупорядочив слагаемые в скобках, получаем:

$(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)$

Ответ: $(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)$

3) Рассмотрим многочлен $P(a) = a^3-3a+2$. Попробуем найти его целые корни. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные целые корни являются делителями свободного члена, то есть числа 2. Это числа $\pm1, \pm2$.

Проверим $a=1$:

$P(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$

Так как $P(1)=0$, то $a=1$ является корнем многочлена, а $(a-1)$ — его множителем. Для нахождения остальных множителей можно разделить многочлен на $(a-1)$ или сгруппировать слагаемые.

Представим $-3a$ как $-a-2a$ и сгруппируем:

$a^3-3a+2 = a^3 - a - 2a + 2 = a(a^2-1) - 2(a-1)$

Разложим $a^2-1$ как $(a-1)(a+1)$:

$a(a-1)(a+1) - 2(a-1)$

Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:

$(a-1)(a(a+1) - 2) = (a-1)(a^2+a-2)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $a^2+a-2$. Его корнями являются $a=1$ и $a=-2$, так как их сумма равна $-1$ (противоположна коэффициенту при $a$), а произведение равно $-2$ (свободный член). Следовательно:

$a^2+a-2 = (a-1)(a+2)$

Подставляя это в наше выражение, получаем окончательное разложение:

$(a-1)(a-1)(a+2) = (a-1)^2(a+2)$

Ответ: $(a-1)^2(a+2)$

4) Рассмотрим многочлен $P(x) = x^3+3x^2-4$. Найдем его целые корни, которые должны быть делителями свободного члена -4. Возможные корни: $\pm1, \pm2, \pm4$.

Проверим $x=1$:

$P(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$

Поскольку $P(1)=0$, $x=1$ является корнем, и многочлен делится на $(x-1)$. Выполним разложение методом группировки. Представим $3x^2$ как $-x^2+4x^2$:

$x^3+3x^2-4 = x^3 - x^2 + 4x^2 - 4$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$x^2(x-1) + 4(x^2-1)$

Применим формулу разности квадратов для $x^2-1$:

$x^2(x-1) + 4(x-1)(x+1)$

Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x-1)(x^2 + 4(x+1)) = (x-1)(x^2+4x+4)$

Выражение в скобках $x^2+4x+4$ является полным квадратом суммы:

$x^2+4x+4 = (x+2)^2$

Таким образом, итоговое разложение имеет вид:

$(x-1)(x+2)^2$

Ответ: $(x-1)(x+2)^2$