Номер 5.154, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.154. Найдите наименьшее общее кратное выражений:

1) $2a^2-4ab+2b^2$; $6a^2-6b^2$; $12a-12b$;

2) $3x^2+6xy+3y^2$; $4x^2-4y^2$; $8x+8y$.

1) Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) выражений необходимо сначала разложить каждое из них на множители.

Первое выражение: $2a^2 - 4ab + 2b^2$. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2a^2 - 4ab + 2b^2 = 2(a^2 - 2ab + b^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(a-b)^2$. Таким образом, $2a^2 - 4ab + 2b^2 = 2(a-b)^2$.

Второе выражение: $6a^2 - 6b^2$. Вынесем общий множитель 6 за скобки: $6a^2 - 6b^2 = 6(a^2 - b^2)$. Выражение в скобках является разностью квадратов: $(a-b)(a+b)$. Таким образом, $6a^2 - 6b^2 = 6(a-b)(a+b) = 2 \cdot 3(a-b)(a+b)$.

Третье выражение: $12a - 12b$. Вынесем общий множитель 12 за скобки: $12a - 12b = 12(a-b) = 2^2 \cdot 3(a-b)$.

Теперь соберем НОК. Оно должно содержать все множители, входящие в разложения данных выражений, в наивысшей встречающейся степени.

Разложения на множители:

$2(a-b)^2$

$2 \cdot 3(a-b)(a+b)$

$2^2 \cdot 3(a-b)$

Числовые коэффициенты: 2, 6, 12. НОК(2, 6, 12) = 12, или $2^2 \cdot 3$.

Множитель $(a-b)$ встречается в степенях 2, 1 и 1. Берем наивысшую степень: $(a-b)^2$.

Множитель $(a+b)$ встречается в степенях 0, 1 и 0. Берем наивысшую степень: $(a+b)$.

Перемножая эти множители, получаем НОК:

НОК = $12(a-b)^2(a+b)$.

Ответ: $12(a-b)^2(a+b)$

2) Аналогично первому пункту, разложим на множители каждое выражение.

Первое выражение: $3x^2 + 6xy + 3y^2$. Вынесем общий множитель 3 за скобки: $3x^2 + 6xy + 3y^2 = 3(x^2 + 2xy + y^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом суммы: $(x+y)^2$. Таким образом, $3x^2 + 6xy + 3y^2 = 3(x+y)^2$.

Второе выражение: $4x^2 - 4y^2$. Вынесем общий множитель 4 за скобки: $4x^2 - 4y^2 = 4(x^2 - y^2)$. Выражение в скобках является разностью квадратов: $(x-y)(x+y)$. Таким образом, $4x^2 - 4y^2 = 4(x-y)(x+y) = 2^2(x-y)(x+y)$.

Третье выражение: $8x + 8y$. Вынесем общий множитель 8 за скобки: $8x + 8y = 8(x+y) = 2^3(x+y)$.

Теперь найдем НОК, взяв все множители в наивысшей степени.

Разложения на множители:

$3(x+y)^2$

$2^2(x-y)(x+y)$

$2^3(x+y)$

Числовые коэффициенты: 3, 4, 8. НОК(3, 4, 8) = 24, или $2^3 \cdot 3$.

Множитель $(x+y)$ встречается в степенях 2, 1 и 1. Берем наивысшую степень: $(x+y)^2$.

Множитель $(x-y)$ встречается в степенях 0, 1 и 0. Берем наивысшую степень: $(x-y)$.

Перемножая эти множители, получаем НОК:

НОК = $24(x-y)(x+y)^2$.

Ответ: $24(x-y)(x+y)^2$