Номер 5.150, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.150. Докажите, что разность квадратов двух последовательных четных чисел не делится на степень 2, большую, чем $2^2$.

Пусть даны два последовательных четных числа. Любое четное число можно представить в виде $2n$, где $n$ — целое число. Тогда следующее за ним четное число будет $2n + 2$.

Нам нужно доказать утверждение о разности их квадратов. Составим выражение для разности квадратов, вычитая из квадрата большего числа квадрат меньшего:

$D = (2n + 2)^2 - (2n)^2$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = 2n+2$ и $b = 2n$.

$D = ((2n+2) - 2n) \cdot ((2n+2) + 2n)$

Упростим каждую скобку:

Первая скобка: $(2n+2) - 2n = 2$

Вторая скобка: $(2n+2) + 2n = 4n + 2$

Теперь перемножим результаты:

$D = 2 \cdot (4n + 2)$

Из второй скобки можно вынести общий множитель 2:

$D = 2 \cdot 2(2n + 1) = 4(2n+1)$

Итак, разность квадратов двух последовательных четных чисел всегда равна $4(2n+1)$.

Из этого выражения видно, что разность всегда делится на 4, то есть на $2^2$.

Теперь проанализируем множитель $(2n+1)$. Поскольку $2n$ по определению является четным числом для любого целого $n$, то $2n+1$ всегда является нечетным числом.

Таким образом, разность $D$ есть произведение числа 4 на нечетное число. Это означает, что в разложении числа $D$ на простые множители двойка входит ровно два раза ($4 = 2^2$), а множитель $(2n+1)$ не содержит двоек.

Следовательно, число $D$ делится на $2^2=4$, но не делится на $2^3=8$, так как для делимости на 8 необходимо, чтобы множитель $(2n+1)$ был четным, что невозможно. Если число не делится на $2^3$, оно не может делиться и на любую более высокую степень двойки (например, $2^4, 2^5$ и т.д.).

Таким образом, доказано, что разность квадратов двух последовательных четных чисел не делится на степень 2, большую, чем $2^2$.

Ответ: Разность квадратов двух последовательных четных чисел, обозначенных как $2n$ и $2n+2$, равна $(2n+2)^2 - (2n)^2 = 4(2n+1)$. Поскольку $2n+1$ является нечетным числом при любом целом $n$, то полученная разность всегда делится на $4=2^2$, но никогда не делится на $8=2^3$. Следовательно, она не может делиться на степень 2, большую, чем $2^2$.