Номер 5.146, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.146. Разложите на множители:

1) $x^2-5x+6$;

2) $x^2+6x+8$;

3) $m^2-7mn+12n^2$;

4) $a^2-7ab+10b^2$.

1) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2-5x+6$, нужно найти два числа, сумма которых равна $-5$, а произведение равно $6$. По теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней $x_1+x_2 = -p$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае $p=-5$, $q=6$. Ищем корни уравнения $x^2-5x+6=0$. Сумма корней равна $5$, произведение равно $6$. Эти числа — $2$ и $3$.

Таким образом, разложение на множители имеет вид $(x-x_1)(x-x_2)$.

$x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$.

Также можно представить средний член $-5x$ в виде суммы $-2x-3x$ и выполнить группировку:

$x^2-5x+6 = x^2-2x-3x+6 = x(x-2)-3(x-2) = (x-2)(x-3)$.

Ответ: $(x-2)(x-3)$.

2) Для разложения на множители трехчлена $x^2+6x+8$ найдем корни уравнения $x^2+6x+8=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а произведение равно $8$. Подбором находим корни: $x_1=-2$ и $x_2=-4$.

Следовательно, разложение на множители:

$x^2+6x+8 = (x-(-2))(x-(-4)) = (x+2)(x+4)$.

Альтернативно, представим $6x$ как $2x+4x$ и сгруппируем:

$x^2+6x+8 = x^2+2x+4x+8 = x(x+2)+4(x+2) = (x+2)(x+4)$.

Ответ: $(x+2)(x+4)$.

3) Для разложения на множители выражения $m^2-7mn+12n^2$ представим средний член $-7mn$ в виде суммы. Нужно найти два числа, произведение которых равно $12$, а сумма равна $-7$. Это числа $-3$ и $-4$.

Представим $-7mn$ как $-3mn-4mn$:

$m^2-7mn+12n^2 = m^2-3mn-4mn+12n^2$.

Сгруппируем слагаемые:

$(m^2-3mn) - (4mn-12n^2) = m(m-3n)-4n(m-3n)$.

Вынесем общий множитель $(m-3n)$ за скобки:

$(m-3n)(m-4n)$.

Ответ: $(m-3n)(m-4n)$.

4) Для разложения на множители выражения $a^2-7ab+10b^2$ представим средний член $-7ab$ в виде суммы. Нужно найти два числа, произведение которых равно $10$, а сумма равна $-7$. Это числа $-2$ и $-5$.

Представим $-7ab$ как $-2ab-5ab$:

$a^2-7ab+10b^2 = a^2-2ab-5ab+10b^2$.

Сгруппируем слагаемые:

$(a^2-2ab) - (5ab-10b^2) = a(a-2b)-5b(a-2b)$.

Вынесем общий множитель $(a-2b)$ за скобки:

$(a-2b)(a-5b)$.

Ответ: $(a-2b)(a-5b)$.