Номер 5.148, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.148. Разложите на множители:

1) $x^3+6x^2+11x+6$;

2) $x^4+x^3+6x^2+5x+5$.

1) Чтобы разложить на множители многочлен $P(x) = x^3+6x^2+11x+6$, воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями его свободного члена. В данном случае свободный член равен 6, а его делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим один из возможных корней, например, $x = -1$:

$P(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 \cdot 1 - 11 + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$.

Поскольку $P(-1) = 0$, то $x = -1$ является корнем многочлена, а $(x+1)$ — одним из его множителей. Чтобы найти остальные множители, можно разделить $x^3+6x^2+11x+6$ на $(x+1)$ столбиком или применить метод группировки.

Применим метод группировки, представив слагаемые исходного многочлена следующим образом:

$x^3+6x^2+11x+6 = x^3 + x^2 + 5x^2 + 5x + 6x + 6$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(x^3+x^2) + (5x^2+5x) + (6x+6) = x^2(x+1) + 5x(x+1) + 6(x+1)$

Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)(x^2+5x+6)$

Осталось разложить на множители квадратный трёхчлен $x^2+5x+6$. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно 6. Этим условиям удовлетворяют числа $-2$ и $-3$. Следовательно:

$x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$

Таким образом, полное разложение на множители исходного многочлена имеет вид:

$(x+1)(x+2)(x+3)$

Ответ: $(x+1)(x+2)(x+3)$.

2) Для разложения на множители многочлена $x^4+x^3+6x^2+5x+5$ применим метод группировки. Этот метод заключается в таком преобразовании выражения, которое позволяет выявить общие множители.

Представим слагаемое $6x^2$ в виде суммы $x^2 + 5x^2$:

$x^4+x^3+6x^2+5x+5 = x^4+x^3+x^2+5x^2+5x+5$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$(x^4+x^3+x^2) + (5x^2+5x+5)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы выносим $x^2$, из второй — 5:

$x^2(x^2+x+1) + 5(x^2+x+1)$

Мы получили общий множитель $(x^2+x+1)$, который теперь можно вынести за скобки:

$(x^2+x+1)(x^2+5)$

Проверим, можно ли разложить на множители полученные квадратные выражения. Для многочлена $x^2+x+1$ найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$, у этого многочлена нет действительных корней, и он не раскладывается на линейные множители над полем действительных чисел. Для многочлена $x^2+5$ выражение $x^2 \ge 0$, поэтому $x^2+5 \ge 5$. У этого многочлена также нет действительных корней.

Следовательно, разложение на множители завершено.

Ответ: $(x^2+x+1)(x^2+5)$.