Вопросы, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое математическая модель задачи? Как вы ее понимаете? Приведите пример.

2. На сколько этапов и на какие делится процесс решения текстовых задач? Раскройте смысл каждого этапа с примерами.

1) Подберите какое-либо уравнение или систему уравнений и по нему составьте текстовую задачу.

2) В примере 3 разделите процесс решения на этапы. Это задание целесообразно выполнять в группе. Обсудите результаты всем классом и обоснуйте свои ответы.

1. Математическая модель задачи — это описание реальной ситуации или проблемы с помощью математического языка. Это могут быть уравнения, неравенства, системы уравнений, функции, графики и другие математические объекты и соотношения. По сути, это перевод словесной постановки задачи в формальный, математический вид.

Понимание математической модели заключается в умении абстрагироваться от второстепенных деталей реальной ситуации и выделить ключевые количественные связи между объектами. Модель позволяет применить строгие математические методы для поиска решения, которое затем можно будет интерпретировать обратно в контексте исходной задачи.

Пример:

Задача: Из двух городов, расстояние между которыми 450 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость одного автомобиля 70 км/ч. Найдите скорость второго автомобиля, если они встретились через 3 часа.

Математическая модель: Обозначим искомое — скорость второго автомобиля — через переменную $v$ (в км/ч).

Известные величины:

• расстояние $S = 450$ км;
• время до встречи $t = 3$ ч;
• скорость первого автомобиля $v_1 = 70$ км/ч.

Ответ: Математическая модель задачи — это ее описание на языке математики (с помощью уравнений, неравенств и т.д.), позволяющее найти решение с помощью математических методов. Пример модели для задачи о движении: $450 = (70 + v) \cdot 3$.

2. Процесс решения текстовых задач принято делить на три основных этапа.

Этап 1: Составление математической модели.

Смысл: На этом этапе происходит перевод условия задачи с обычного языка на математический. Для этого необходимо внимательно проанализировать текст, определить, какие величины известны, а какую нужно найти. Неизвестные величины обозначаются переменными (например, $x$, $y$), а затем устанавливаются связи между всеми величинами в виде уравнений, неравенств или их систем.

Пример: Задача: "В корзине было несколько яблок. После того как в нее положили еще 5 яблок, их стало 12. Сколько яблок было в корзине первоначально?"

Пусть $x$ — первоначальное количество яблок. Тогда после добавления 5 яблок их стало $x+5$. По условию, это равно 12. Математическая модель: $x + 5 = 12$.

Этап 2: Работа с математической моделью.

Смысл: На этом этапе производится решение составленного уравнения, неравенства или системы. Здесь используются чисто математические знания и навыки: алгебраические преобразования, арифметические вычисления, решение квадратных уравнений и т.д. Этот этап полностью оторван от реального контекста задачи.

Пример: Решаем уравнение, полученное на первом этапе: $x + 5 = 12$.

Переносим 5 в правую часть с противоположным знаком: $x = 12 - 5$.

Вычисляем: $x = 7$. Это математический результат.

Этап 3: Интерпретация результата.

Смысл: Полученный на втором этапе математический корень (или решение) необходимо осмыслить в контексте исходной задачи. Нужно проверить, имеет ли решение физический или логический смысл (например, длина не может быть отрицательной, а количество людей — дробным). Затем на основе этого решения формулируется окончательный ответ на вопрос задачи.

Пример: Мы получили $x=7$. Поскольку $x$ — это количество яблок, результат является осмысленным (целое, положительное число). Мы можем дать ответ на вопрос задачи: "Первоначально в корзине было 7 яблок". Проверка: если было 7 яблок и добавили 5, то стало $7+5=12$ яблок. Это соответствует условию.

Ответ: Процесс решения текстовых задач делится на три этапа: 1) составление математической модели (перевод задачи на язык математики), 2) работа с моделью (решение уравнения/системы), 3) интерпретация результата (перевод математического решения обратно в контекст задачи и формулировка ответа).

1) Выберем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} x + y = 30 \\ 2x + 4y = 80 \end{cases} $$ Составим по ней текстовую задачу. Пусть $x$ и $y$ обозначают количество объектов двух разных типов, а коэффициенты 2 и 4 — какое-то свойство этих объектов (например, количество колес).

Текстовая задача:

На стоянке находятся велосипеды и легковые автомобили, общим числом 30 штук. Известно, что у всех велосипедов 2 колеса, а у всех автомобилей — 4. Сколько всего колес у транспортных средств на стоянке, если их общее число равно 80? Сколько на стоянке велосипедов и сколько автомобилей?

(Примечание: если мы обозначим $x$ — количество велосипедов, а $y$ — количество автомобилей, то $x+y=30$ — общее количество транспортных средств, а $2x+4y=80$ — общее количество колес.)

Ответ: Система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 30 \\ 2x + 4y = 80 \end{cases} $. Задача: На стоянке 30 велосипедов и автомобилей. Общее число их колес равно 80. Сколько на стоянке велосипедов и сколько автомобилей?

2) Поскольку "Пример 3" не предоставлен в тексте вопроса, продемонстрируем разделение процесса решения на этапы на примере задачи, составленной в предыдущем пункте (1)).

Задача: На стоянке находятся велосипеды и легковые автомобили, общим числом 30 штук. Общее число колес у всех транспортных средств равно 80. Сколько на стоянке велосипедов и сколько автомобилей?

Этап 1: Составление математической модели.

Пусть $x$ — количество велосипедов на стоянке.

Пусть $y$ — количество автомобилей на стоянке.

По условию, общее число транспортных средств равно 30, следовательно, получаем первое уравнение: $x + y = 30$.

У каждого велосипеда 2 колеса, значит, у $x$ велосипедов $2x$ колес. У каждого автомобиля 4 колеса, значит, у $y$ автомобилей $4y$ колес. Общее число колес равно 80, следовательно, получаем второе уравнение: $2x + 4y = 80$.

Математическая модель задачи — это система двух уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 30 \\ 2x + 4y = 80 \end{cases} $$

Этап 2: Работа с математической моделью (решение системы).

Будем решать систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$: $x = 30 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $2(30 - y) + 4y = 80$.

Раскроем скобки: $60 - 2y + 4y = 80$.

Приведем подобные слагаемые: $60 + 2y = 80$.

Перенесем 60 в правую часть: $2y = 80 - 60$, то есть $2y = 20$.

Найдем $y$: $y = 10$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$: $x = 30 - 10 = 20$.

Математическое решение системы: $x = 20$, $y = 10$.

Этап 3: Интерпретация результата.

Мы получили, что $x=20$ и $y=10$. В контексте задачи это означает, что на стоянке 20 велосипедов и 10 автомобилей.

Проверим, соответствует ли это условиям задачи.

Общее количество транспортных средств: $20 + 10 = 30$. Верно.

Общее количество колес: $20 \cdot 2 + 10 \cdot 4 = 40 + 40 = 80$. Верно.

Решение логично (количество — целые неотрицательные числа) и удовлетворяет всем условиям.

Ответ: На стоянке 20 велосипедов и 10 автомобилей.