Номер 5.151, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.151. Докажите тождество:

1) $(a+b)^2(a-b)-2ab(b-a)-6ab(a-b)=(a-b)^3;$

2) $(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)+(a^3-b^3)(a^3+b^3)=2a^6;$

3) $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2;$

4) $(a^2+cb^2)(d^2+ce^2)=(ad+cbe)^2+c(ae-bd)^2.$

1) Чтобы доказать тождество $(a+b)^2(a-b)-2ab(b-a)-6ab(a-b)=(a-b)^3$, преобразуем его левую часть.

Заменим выражение $(b-a)$ на $-(a-b)$:

$(a+b)^2(a-b)-2ab(-(a-b))-6ab(a-b) = (a+b)^2(a-b)+2ab(a-b)-6ab(a-b)$.

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a-b) \cdot ((a+b)^2 + 2ab - 6ab)$.

Упростим выражение во вторых скобках, раскрыв квадрат суммы:

$(a-b) \cdot (a^2+2ab+b^2 - 4ab) = (a-b) \cdot (a^2-2ab+b^2)$.

Выражение $a^2-2ab+b^2$ является формулой квадрата разности $(a-b)^2$.

Подставим это в наше выражение:

$(a-b) \cdot (a-b)^2 = (a-b)^3$.

Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)+(a^3-b^3)(a^3+b^3)=2a^6$ преобразуем его левую часть.

Первое слагаемое $(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)$ соответствует формуле суммы кубов $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$, где $x=a^2$ и $y=b^2$. Таким образом:

$(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4) = (a^2)^3+(b^2)^3 = a^6+b^6$.

Второе слагаемое $(a^3-b^3)(a^3+b^3)$ является формулой разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=a^3$ и $y=b^3$. Таким образом:

$(a^3-b^3)(a^3+b^3) = (a^3)^2-(b^3)^2 = a^6-b^6$.

Сложим полученные результаты:

$(a^6+b^6) + (a^6-b^6) = a^6+b^6+a^6-b^6 = 2a^6$.

Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$ преобразуем его правую часть.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 = (a^2c^2+2abcd+b^2d^2) + (a^2d^2-2abcd+b^2c^2)$.

Приведем подобные члены ($2abcd$ и $-2abcd$ взаимно уничтожаются):

$a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2$.

Сгруппируем слагаемые:

$(a^2c^2+a^2d^2)+(b^2c^2+b^2d^2)$.

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)$.

Вынесем общий множитель $(c^2+d^2)$:

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)$.

Полученное выражение совпадает с левой частью тождества, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $(a^2+cb^2)(d^2+ce^2)=(ad+cbe)^2+c(ae-bd)^2$ преобразуем его правую часть.

Раскроем скобки:

$(ad+cbe)^2+c(ae-bd)^2 = (a^2d^2+2abcde+c^2b^2e^2) + c(a^2e^2-2abde+b^2d^2)$.

$a^2d^2+2abcde+c^2b^2e^2 + ca^2e^2-2abcde+cb^2d^2$.

Приведем подобные члены ($2abcde$ и $-2abcde$ взаимно уничтожаются):

$a^2d^2+c^2b^2e^2+ca^2e^2+cb^2d^2$.

Сгруппируем слагаемые:

$(a^2d^2+cb^2d^2) + (ca^2e^2+c^2b^2e^2)$.

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$d^2(a^2+cb^2) + ce^2(a^2+cb^2)$.

Вынесем общий множитель $(a^2+cb^2)$:

$(a^2+cb^2)(d^2+ce^2)$.

Полученное выражение совпадает с левой частью тождества, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.