Номер 5.140, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.140. Разложите на множители:

1) $25x^2-(x+y)^2;$

2) $100-(3a+7y)^2;$

3) $1-(a^2+b^2)^2;$

4) $m^6n^2-(m-n)^2;$

5) $x^4y^2-(a^2-b^2)^2;$

6) $9x^2y^4-(a-b)^2.$

1) Исходное выражение $25x^2 - (x+y)^2$ представляет собой разность квадратов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

В данном случае $A^2 = 25x^2 = (5x)^2$, следовательно, $A = 5x$.

Второй член $B^2 = (x+y)^2$, следовательно, $B = x+y$.

Подставим $A$ и $B$ в формулу:

$25x^2 - (x+y)^2 = (5x)^2 - (x+y)^2 = (5x - (x+y))(5x + (x+y))$.

Теперь раскроем скобки внутри каждого множителя и приведем подобные слагаемые:

Первый множитель: $5x - (x+y) = 5x - x - y = 4x - y$.

Второй множитель: $5x + (x+y) = 5x + x + y = 6x + y$.

Таким образом, разложение имеет вид: $(4x - y)(6x + y)$.

Ответ: $(4x - y)(6x + y)$.

2) Выражение $100 - (3a+7y)^2$ является разностью квадратов.

Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Здесь $A^2 = 100 = 10^2$, значит $A=10$.

$B^2 = (3a+7y)^2$, значит $B=3a+7y$.

Подставляем в формулу:

$100 - (3a+7y)^2 = 10^2 - (3a+7y)^2 = (10 - (3a+7y))(10 + (3a+7y))$.

Раскроем внутренние скобки, чтобы упростить выражение:

$(10 - 3a - 7y)(10 + 3a + 7y)$.

Ответ: $(10 - 3a - 7y)(10 + 3a + 7y)$.

3) Выражение $1 - (a^2+b^2)^2$ также является разностью квадратов.

Используем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

В этом примере $A^2 = 1 = 1^2$, так что $A=1$.

$B^2 = (a^2+b^2)^2$, так что $B=a^2+b^2$.

Подставляем $A$ и $B$ в формулу:

$1^2 - (a^2+b^2)^2 = (1 - (a^2+b^2))(1 + (a^2+b^2))$.

Упростим, раскрыв внутренние скобки:

$(1 - a^2 - b^2)(1 + a^2 + b^2)$.

Ответ: $(1 - a^2 - b^2)(1 + a^2 + b^2)$.

4) Выражение $m^6n^2 - (m-n)^2$ представляет собой разность квадратов.

Снова применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Первый член $m^6n^2$ можно представить как квадрат выражения $m^3n$, так как $(m^3n)^2 = (m^3)^2 \cdot n^2 = m^6n^2$. Таким образом, $A = m^3n$.

Второй член $(m-n)^2$ является квадратом выражения $m-n$. Таким образом, $B = m-n$.

Подставляем $A$ и $B$ в формулу разности квадратов:

$(m^3n)^2 - (m-n)^2 = (m^3n - (m-n))(m^3n + (m-n))$.

Раскроем внутренние скобки, чтобы получить окончательный вид множителей:

$(m^3n - m + n)(m^3n + m - n)$.

Ответ: $(m^3n - m + n)(m^3n + m - n)$.

5) Выражение $x^4y^2 - (a^2-b^2)^2$ является разностью квадратов.

Воспользуемся формулой $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим $x^4y^2$ как квадрат: $x^4y^2 = (x^2y)^2$. Значит, $A = x^2y$.

Второй член $(a^2-b^2)^2$ является квадратом выражения $a^2-b^2$. Значит, $B = a^2-b^2$.

Подставляем в формулу:

$(x^2y)^2 - (a^2-b^2)^2 = (x^2y - (a^2-b^2))(x^2y + (a^2-b^2))$.

Раскроем скобки внутри множителей:

$(x^2y - a^2 + b^2)(x^2y + a^2 - b^2)$.

Ответ: $(x^2y - a^2 + b^2)(x^2y + a^2 - b^2)$.

6) Выражение $9x^2y^4 - (a-b)^2$ — это разность квадратов.

Используем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Первый член $9x^2y^4$ можно представить как $(3xy^2)^2$. Таким образом, $A = 3xy^2$.

Второй член $(a-b)^2$ — это квадрат выражения $a-b$. Таким образом, $B = a-b$.

Подставляем в формулу разности квадратов:

$(3xy^2)^2 - (a-b)^2 = (3xy^2 - (a-b))(3xy^2 + (a-b))$.

Раскроем внутренние скобки:

$(3xy^2 - a + b)(3xy^2 + a - b)$.

Ответ: $(3xy^2 - a + b)(3xy^2 + a - b)$.