Номер 5.135, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.135. Разложите на множители:

1) $a^2-b^2-a+b;$

2) $a^2-b^2+a+b;$

3) $x^3-x^2y-xy^2+y^3;$

4) $a^3+a^2b-ab^2-b^3;$

5) $m^2+2mn+n^2-mb-nb;$

6) $xc-yc-x^2+2xy-y^2.$

1) $a^2-b^2-a+b$

Для разложения на множители сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первые два и последние два слагаемых: $(a^2-b^2) + (-a+b)$.

Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ к первой группе. Во второй группе вынесем за скобки $-1$: $(a-b)(a+b) - 1(a-b)$.

Теперь мы видим общий множитель $(a-b)$, который можно вынести за скобки: $(a-b)((a+b)-1)$.

Упростим выражение в скобках: $(a-b)(a+b-1)$.

Ответ: $(a-b)(a+b-1)$.

2) $a^2-b^2+a+b$

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(a^2-b^2) + (a+b)$.

Разложим первую группу по формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b) + (a+b)$.

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки: $(a+b)((a-b)+1)$.

Упростим выражение во второй скобке: $(a+b)(a-b+1)$.

Ответ: $(a+b)(a-b+1)$.

3) $x^3-x^2y-xy^2+y^3$

Сгруппируем попарно слагаемые: $(x^3-x^2y) - (xy^2-y^3)$.

В первой группе вынесем за скобки $x^2$, а во второй $y^2$: $x^2(x-y) - y^2(x-y)$.

Теперь вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки: $(x-y)(x^2-y^2)$.

Второй множитель является разностью квадратов, разложим его: $(x-y)(x-y)(x+y)$.

Запишем в более компактном виде: $(x-y)^2(x+y)$.

Ответ: $(x-y)^2(x+y)$.

4) $a^3+a^2b-ab^2-b^3$

Сгруппируем слагаемые: $(a^3+a^2b) - (ab^2+b^3)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $a^2(a+b) - b^2(a+b)$.

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки: $(a+b)(a^2-b^2)$.

Применим формулу разности квадратов ко второму множителю: $(a+b)(a-b)(a+b)$.

Запишем в более компактном виде: $(a+b)^2(a-b)$.

Ответ: $(a+b)^2(a-b)$.

5) $m^2+2mn+n^2-mb-nb$

Заметим, что первые три слагаемых образуют полный квадрат суммы. Сгруппируем их. Также сгруппируем последние два слагаемых: $(m^2+2mn+n^2) - (mb+nb)$.

Свернем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Во второй скобке вынесем общий множитель $b$: $(m+n)^2 - b(m+n)$.

Теперь вынесем общий множитель $(m+n)$ за скобки: $(m+n)((m+n)-b)$.

Упростим выражение во второй скобке: $(m+n)(m+n-b)$.

Ответ: $(m+n)(m+n-b)$.

6) $xc-yc-x^2+2xy-y^2$

Сгруппируем слагаемые. Удобно сгруппировать первые два слагаемых и последние три: $(xc-yc) + (-x^2+2xy-y^2)$.

В первой группе вынесем за скобки $c$. Во второй группе вынесем за скобки $-1$, чтобы получить формулу полного квадрата: $c(x-y) - (x^2-2xy+y^2)$.

Выражение в скобках $x^2-2xy+y^2$ является квадратом разности $(x-y)^2$. Получаем: $c(x-y) - (x-y)^2$.

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки: $(x-y)(c-(x-y))$.

Раскроем внутренние скобки: $(x-y)(c-x+y)$.

Ответ: $(x-y)(c-x+y)$.