Номер 5.138, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.138. Докажите, что выражение $4x-4x^2-2$ может принимать только отрицательные значения.

Для того чтобы доказать, что выражение $4x-4x^2-2$ может принимать только отрицательные значения, необходимо показать, что неравенство $4x-4x^2-2 < 0$ справедливо для любого действительного значения $x$. Сделаем это, преобразовав выражение методом выделения полного квадрата.

1. Перепишем выражение, упорядочив слагаемые по убыванию степеней $x$:

$4x-4x^2-2 = -4x^2+4x-2$

2. Вынесем за скобки общий множитель $-4$ у первых двух слагаемых:

$-4(x^2-x)-2$

3. Внутри скобок выделим полный квадрат. Для этого выражение $x^2-x$ нужно дополнить до формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$, а $2ab = x$, значит $b=\frac{1}{2}$. Нам не хватает слагаемого $b^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Добавим и вычтем $\frac{1}{4}$ внутри скобок:

$-4(x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4})-2$

4. Сгруппируем первые три слагаемых в скобках, которые теперь образуют полный квадрат:

$-4((x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4}) - 2 = -4((x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 2$

5. Раскроем внешние скобки и приведем подобные слагаемые:

$-4(x-\frac{1}{2})^2 + (-4)(-\frac{1}{4}) - 2 = -4(x-\frac{1}{2})^2 + 1 - 2 = -4(x-\frac{1}{2})^2 - 1$

Теперь проанализируем полученное выражение $-4(x-\frac{1}{2})^2 - 1$:

• Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, поэтому $(x-\frac{1}{2})^2 \ge 0$ для любого $x$.
• При умножении на отрицательное число $-4$ знак неравенства меняется на противоположный: $-4(x-\frac{1}{2})^2 \le 0$.
• Вычитая из неположительного числа единицу, мы получаем результат, который всегда меньше или равен $-1$: $-4(x-\frac{1}{2})^2 - 1 \le -1$.

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение $4x-4x^2-2$ при любом значении $x$ не превышает $-1$. Так как $-1 < 0$, то выражение всегда принимает отрицательные значения, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. После преобразования методом выделения полного квадрата выражение $4x-4x^2-2$ принимает вид $-4(x-\frac{1}{2})^2 - 1$. Так как квадрат выражения $(x-\frac{1}{2})^2$ всегда неотрицателен (т.е. $\ge 0$), то $-4(x-\frac{1}{2})^2$ всегда неположителен (т.е. $\le 0$). Следовательно, $-4(x-\frac{1}{2})^2 - 1 \le -1$. Поскольку максимальное значение выражения равно $-1$, оно всегда отрицательно.