Номер 5.123, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.123. Для натуральных чисел $\text{n}$, $\text{m}$, $\text{k}$ сумма $n+m+k$ делится на 6. Докажите, что сумма $n^3+m^3+k^3$ также делится на 6.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами делимости и сравнениями по модулю.

Рассмотрим разность $n^3 - n$ для любого натурального числа $n$. Это выражение можно разложить на множители:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)$.

Полученное выражение $(n-1)n(n+1)$ представляет собой произведение трех последовательных натуральных чисел. Среди трех последовательных чисел всегда:

• есть хотя бы одно четное число, то есть число, которое делится на 2;
• есть ровно одно число, которое делится на 3.

Поскольку числа 2 и 3 взаимно просты, их произведение, равное $2 \cdot 3 = 6$, также является делителем произведения $(n-1)n(n+1)$. Таким образом, для любого натурального числа $n$ разность $n^3 - n$ делится на 6.

Используя язык сравнений по модулю, это можно записать как $n^3 - n \equiv 0 \pmod{6}$, что эквивалентно $n^3 \equiv n \pmod{6}$.

Аналогичные утверждения справедливы и для чисел $m$ и $k$:

$m^3 \equiv m \pmod{6}$

$k^3 \equiv k \pmod{6}$

Теперь сложим эти три сравнения почленно:

$n^3 + m^3 + k^3 \equiv n + m + k \pmod{6}$

По условию задачи нам дано, что сумма $n+m+k$ делится на 6. Это означает, что остаток от деления $n+m+k$ на 6 равен 0, или $n+m+k \equiv 0 \pmod{6}$.

Подставляя это в наше предыдущее сравнение, получаем:

$n^3 + m^3 + k^3 \equiv 0 \pmod{6}$

Это сравнение означает, что сумма $n^3+m^3+k^3$ делится на 6 без остатка. Утверждение доказано.

Ответ: Так как для любого натурального числа $a$ выражение $a^3-a$ делится на 6, то $a^3 \equiv a \pmod{6}$. Следовательно, $n^3+m^3+k^3 \equiv n+m+k \pmod{6}$. Поскольку по условию $n+m+k$ делится на 6, то и $n^3+m^3+k^3$ делится на 6.