Номер 5.120, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.120. Докажите, что разность кубов двух последовательных натуральных чисел не делится на 3.

Пусть даны два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$, где $n \in \mathbb{N}$. Требуется доказать, что разность их кубов, $(n+1)^3 - n^3$, не делится нацело на 3.

Раскроем куб большего числа, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(n+1)^3 = n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 1 + 3 \cdot n \cdot 1^2 + 1^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$.

Теперь вычислим разность кубов:

$(n+1)^3 - n^3 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3 = 3n^2 + 3n + 1$.

Преобразуем полученное выражение, вынеся общий множитель 3 за скобки:

$3n^2 + 3n + 1 = 3(n^2 + n) + 1$.

Так как $n$ является натуральным числом, то $n^2$ и $n$ также являются целыми числами, а их сумма $n^2 + n$ — целое число. Обозначим $k = n^2 + n$, где $k$ является целым числом. Тогда разность кубов можно представить в виде $3k + 1$.

Выражение вида $3k + 1$ означает, что при делении числа на 3 получается остаток, равный 1. Число делится на 3 нацело тогда и только тогда, когда остаток от деления равен 0. Поскольку в нашем случае остаток всегда равен 1, разность кубов двух последовательных натуральных чисел никогда не делится на 3, что и требовалось доказать.

Ответ: разность кубов двух последовательных натуральных чисел $(n+1)^3 - n^3$ равна $3n^2 + 3n + 1 = 3(n^2+n) + 1$. Так как это выражение при делении на 3 всегда дает в остатке 1, оно не делится на 3.