Номер 5.118, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.118. Вместо знака * впишите одночлен, чтобы получилось тождество:

1) $(2a-*)^3=8a^3-36a^2b+54ab^2-(*)^3;$

2) $(*+\frac{y}{2})^3=27x^3+\frac{27}{2}x^2y+\frac{3 \cdot *}{4}y^2+\frac{y^3}{8}.$

1) Чтобы найти одночлен, который нужно вписать вместо знака *, воспользуемся формулой куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

В данном тождестве $(2a-*)^3=8a^3-36a^2b+54ab^2-(*)^3$ первый член двучлена в левой части равен $2a$. Его куб $(2a)^3 = 8a^3$ совпадает с первым членом в правой части.

Пусть искомый одночлен будет $M$. Тогда тождество примет вид $(2a-M)^3=8a^3-36a^2b+54ab^2-M^3$.

Раскроем левую часть по формуле куба разности: $(2a-M)^3 = (2a)^3 - 3 \cdot (2a)^2 \cdot M + 3 \cdot (2a) \cdot M^2 - M^3 = 8a^3 - 12a^2M + 6aM^2 - M^3$.

Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного тождества: $8a^3 - 12a^2M + 6aM^2 - M^3 = 8a^3-36a^2b+54ab^2-M^3$.

Сопоставим коэффициенты при соответствующих степенях переменных. Сравним вторые члены обоих выражений: $-12a^2M = -36a^2b$.

Отсюда находим $M$: $M = \frac{-36a^2b}{-12a^2} = 3b$.

Для проверки подставим найденный одночлен в выражение для третьего члена: $6aM^2 = 6a(3b)^2 = 6a(9b^2) = 54ab^2$.

Этот результат совпадает с третьим членом в правой части исходного тождества. Последний член $(-M^3)$ также соответствует форме $(-*)^3$. Следовательно, искомый одночлен — это $3b$.

Ответ: $3b$.

2) Для решения этого примера воспользуемся формулой куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

В тождестве $(\ast+\frac{y}{2})^3=27x^3+\frac{27}{2}x^2y+\frac{3}{4}\cdot \ast \cdot y^2+\frac{y^3}{8}$ второй член двучлена в левой части равен $\frac{y}{2}$. Проверим его куб: $(\frac{y}{2})^3 = \frac{y^3}{8}$, что соответствует последнему члену в правой части.

Пусть искомый одночлен будет $M$. Тогда тождество можно записать как: $(M+\frac{y}{2})^3=27x^3+\frac{27}{2}x^2y+\frac{3}{4} M y^2+\frac{y^3}{8}$.

Согласно формуле куба суммы, первый член в разложении левой части равен $M^3$. В правой части первый член равен $27x^3$. Приравнивая их, получаем: $M^3 = 27x^3$.

Извлекая кубический корень из обеих частей, находим $M$: $M = \sqrt[3]{27x^3} = 3x$.

Проверим, является ли $3x$ искомым одночленом. Для этого подставим $M=3x$ в левую часть и раскроем скобки: $(3x+\frac{y}{2})^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot (\frac{y}{2}) + 3 \cdot (3x) \cdot (\frac{y}{2})^2 + (\frac{y}{2})^3$

$= 27x^3 + 3 \cdot 9x^2 \cdot \frac{y}{2} + 9x \cdot \frac{y^2}{4} + \frac{y^3}{8}$

$= 27x^3 + \frac{27}{2}x^2y + \frac{9}{4}xy^2 + \frac{y^3}{8}$.

Теперь посмотрим на правую часть исходного тождества, подставив в нее $\ast = 3x$: $27x^3+\frac{27}{2}x^2y+\frac{3}{4} \cdot (3x) \cdot y^2+\frac{y^3}{8} = 27x^3+\frac{27}{2}x^2y+\frac{9}{4}xy^2+\frac{y^3}{8}$.

Так как разложение левой части совпадает с правой частью, искомый одночлен — это $3x$.

Ответ: $3x$.