Номер 5.117, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.117. Упростите выражение и вычислите его значение:

1) $8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3+12x^2-12xy+3y^2$ при $x=1,1$, $y=1,2$;

2) $3(m-1)^2+(m+2)(m^2-2m+4)-(m+1)^3$ при $m=-\frac{1}{3}$;

3) $(a-1)^3-4a(a+1)(a-1)+3(a-1)(a^2+a+1)$ при $a=-2$.

1) Чтобы упростить выражение $8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3 + 12x^2 - 12xy + 3y^2$, сгруппируем его члены:

$(8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3) + (12x^2 - 12xy + 3y^2)$.

Первая группа слагаемых представляет собой формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, где $a=2x$ и $b=y$:

$(2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot y + 3 \cdot 2x \cdot y^2 - y^3 = (2x-y)^3$.

Во второй группе слагаемых вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3(4x^2 - 4xy + y^2)$.

Выражение в скобках является квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=2x$ и $b=y$:

$3((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot y + y^2) = 3(2x-y)^2$.

Таким образом, исходное выражение упрощается до вида: $(2x-y)^3 + 3(2x-y)^2$.

Теперь вычислим значение этого выражения при $x=1,1$ и $y=1,2$.

Найдем значение $2x-y$: $2 \cdot 1,1 - 1,2 = 2,2 - 1,2 = 1$.

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$1^3 + 3 \cdot 1^2 = 1 + 3 \cdot 1 = 4$.

Ответ: 4

2) Упростим выражение $3(m-1)^2 + (m+2)(m^2-2m+4) - (m+1)^3$.

Раскроем каждую часть выражения по отдельности, используя формулы сокращенного умножения.

Первое слагаемое (квадрат разности): $3(m-1)^2 = 3(m^2 - 2m + 1) = 3m^2 - 6m + 3$.

Второе слагаемое (сумма кубов, $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$): $(m+2)(m^2-2m+4) = m^3 + 2^3 = m^3 + 8$.

Третье слагаемое (куб суммы, $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$): $-(m+1)^3 = -(m^3 + 3m^2 + 3m + 1) = -m^3 - 3m^2 - 3m - 1$.

Теперь сложим все упрощенные части:

$(3m^2 - 6m + 3) + (m^3 + 8) + (-m^3 - 3m^2 - 3m - 1)$.

Приведем подобные члены:

$(m^3 - m^3) + (3m^2 - 3m^2) + (-6m - 3m) + (3 + 8 - 1) = 0 + 0 - 9m + 10 = -9m + 10$.

Теперь вычислим значение выражения при $m = -\frac{1}{3}$:

$-9 \cdot (-\frac{1}{3}) + 10 = \frac{9}{3} + 10 = 3 + 10 = 13$.

Ответ: 13

3) Упростим выражение $(a-1)^3 - 4a(a+1)(a-1) + 3(a-1)(a^2+a+1)$.

Рассмотрим каждую часть выражения отдельно.

Первая часть (куб разности): $(a-1)^3 = a^3 - 3a^2 \cdot 1 + 3a \cdot 1^2 - 1^3 = a^3 - 3a^2 + 3a - 1$.

Вторая часть (разность квадратов, $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$): $-4a(a+1)(a-1) = -4a(a^2 - 1) = -4a^3 + 4a$.

Третья часть (разность кубов, $(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$): $3(a-1)(a^2+a+1) = 3(a^3 - 1^3) = 3(a^3 - 1) = 3a^3 - 3$.

Теперь объединим все упрощенные части:

$(a^3 - 3a^2 + 3a - 1) + (-4a^3 + 4a) + (3a^3 - 3)$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - 4a^3 + 3a^3) - 3a^2 + (3a + 4a) + (-1 - 3) = 0 \cdot a^3 - 3a^2 + 7a - 4 = -3a^2 + 7a - 4$.

Теперь вычислим значение выражения при $a = -2$:

$-3(-2)^2 + 7(-2) - 4 = -3(4) - 14 - 4 = -12 - 14 - 4 = -30$.

Ответ: -30