Номер 5.119, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.119. Из деревянного куба с длиной ребра $(a + 5)$ см вырезали кубик с длиной ребра $(a - 5)$ см. Каков объем оставшегося дерева?

Для того чтобы найти объем оставшегося дерева, необходимо из объема исходного (большего) куба вычесть объем вырезанного (меньшего) куба.

Объем куба вычисляется по формуле $V = l^3$, где $l$ — длина его ребра.

1. Найдем объем большего куба, $V_1$, с длиной ребра $(a + 5)$ см:

$V_1 = (a + 5)^3$ см³.

2. Найдем объем меньшего куба, $V_2$, с длиной ребра $(a - 5)$ см:

$V_2 = (a - 5)^3$ см³.

3. Объем оставшегося дерева, $V_{ост}$, равен разности объемов $V_1$ и $V_2$:

$V_{ост} = V_1 - V_2 = (a + 5)^3 - (a - 5)^3$.

Для упрощения полученного выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В нашем случае $x = a + 5$ и $y = a - 5$.

Вычислим каждую часть формулы:

$x - y = (a + 5) - (a - 5) = a + 5 - a + 5 = 10$.

$x^2 = (a + 5)^2 = a^2 + 10a + 25$.

$xy = (a + 5)(a - 5) = a^2 - 25$.

$y^2 = (a - 5)^2 = a^2 - 10a + 25$.

Теперь подставим эти выражения в формулу разности кубов:

$V_{ост} = (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 10 \cdot ((a^2 + 10a + 25) + (a^2 - 25) + (a^2 - 10a + 25))$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$V_{ост} = 10 \cdot ( (a^2 + a^2 + a^2) + (10a - 10a) + (25 - 25 + 25) )$.

$V_{ост} = 10 \cdot (3a^2 + 25)$.

Раскроем скобки:

$V_{ост} = 30a^2 + 250$.

Ответ: $30a^2 + 250$ см³.