Номер 5.112, страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.112. Докажите тождество:

1) $a^3+3ab(a+b)+b^3=(a+b)^3;$

2) $a^3-3ab(a-b)-b^3=(a-b)^3.$

1) Докажем тождество $a^3+3ab(a+b)+b^3=(a+b)^3$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки в выражении $3ab(a+b)$, применив распределительный закон умножения:

$a^3+3ab(a+b)+b^3 = a^3 + (3ab \cdot a + 3ab \cdot b) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Полученное выражение $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ является известной формулой сокращенного умножения, а именно, разложением куба суммы $(a+b)^3$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой: $a^3+3ab(a+b)+b^3 = (a+b)^3$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $a^3-3ab(a-b)-b^3=(a-b)^3$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки в выражении $-3ab(a-b)$:

$a^3-3ab(a-b)-b^3 = a^3 - (3ab \cdot a - 3ab \cdot b) - b^3 = a^3 - (3a^2b - 3ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Полученное выражение $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ является известной формулой сокращенного умножения — разложением куба разности $(a-b)^3$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой: $a^3-3ab(a-b)-b^3 = (a-b)^3$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.