Номер 5.107, страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.107. Выполните возведение в степень:

1) $(a+2b)^3$;

2) $(x-3y)^3$;

3) $(2m-3n)^3$;

4) $(4x+\frac{1}{3}y)^3$;

5) $(\frac{2}{3}a-3b)^3$;

6) $(\frac{1}{3}p+\frac{1}{2}q)^3$.

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

• Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

1) $(a+2b)^3$

Воспользуемся формулой куба суммы, где $a$ — первый член, а $2b$ — второй.

$(a+2b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 + (2b)^3$

Выполним вычисления:

$a^3 + 6a^2b + 3a(4b^2) + 8b^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$

Ответ: $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$.

2) $(x-3y)^3$

Воспользуемся формулой куба разности, где $x$ — первый член, а $3y$ — второй.

$(x-3y)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot (3y) + 3 \cdot x \cdot (3y)^2 - (3y)^3$

Выполним вычисления:

$x^3 - 9x^2y + 3x(9y^2) - 27y^3 = x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$

Ответ: $x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$.

3) $(2m-3n)^3$

Применяем формулу куба разности, где первый член — $2m$, а второй — $3n$.

$(2m-3n)^3 = (2m)^3 - 3 \cdot (2m)^2 \cdot (3n) + 3 \cdot (2m) \cdot (3n)^2 - (3n)^3$

Выполним вычисления:

$8m^3 - 3 \cdot (4m^2) \cdot (3n) + 6m \cdot (9n^2) - 27n^3 = 8m^3 - 36m^2n + 54mn^2 - 27n^3$

Ответ: $8m^3 - 36m^2n + 54mn^2 - 27n^3$.

4) $(4x+\frac{1}{3}y)^3$

Применяем формулу куба суммы, где первый член — $4x$, а второй — $\frac{1}{3}y$.

$(4x+\frac{1}{3}y)^3 = (4x)^3 + 3 \cdot (4x)^2 \cdot (\frac{1}{3}y) + 3 \cdot (4x) \cdot (\frac{1}{3}y)^2 + (\frac{1}{3}y)^3$

Выполним вычисления:

$64x^3 + 3 \cdot 16x^2 \cdot \frac{1}{3}y + 12x \cdot \frac{1}{9}y^2 + \frac{1}{27}y^3 = 64x^3 + 16x^2y + \frac{12}{9}xy^2 + \frac{1}{27}y^3$

Сократим дробь $\frac{12}{9}$ на 3:

$64x^3 + 16x^2y + \frac{4}{3}xy^2 + \frac{1}{27}y^3$

Ответ: $64x^3 + 16x^2y + \frac{4}{3}xy^2 + \frac{1}{27}y^3$.

5) $(\frac{2}{3}a-3b)^3$

Используем формулу куба разности. Первый член — $\frac{2}{3}a$, второй — $3b$.

$(\frac{2}{3}a-3b)^3 = (\frac{2}{3}a)^3 - 3 \cdot (\frac{2}{3}a)^2 \cdot (3b) + 3 \cdot (\frac{2}{3}a) \cdot (3b)^2 - (3b)^3$

Выполним вычисления:

$\frac{8}{27}a^3 - 3 \cdot \frac{4}{9}a^2 \cdot 3b + 3 \cdot \frac{2}{3}a \cdot 9b^2 - 27b^3 = \frac{8}{27}a^3 - \frac{3 \cdot 4 \cdot 3}{9}a^2b + \frac{3 \cdot 2 \cdot 9}{3}ab^2 - 27b^3$

$\frac{8}{27}a^3 - 4a^2b + 18ab^2 - 27b^3$

Ответ: $\frac{8}{27}a^3 - 4a^2b + 18ab^2 - 27b^3$.

6) $(\frac{1}{3}p+\frac{1}{2}q)^3$

Используем формулу куба суммы. Первый член — $\frac{1}{3}p$, второй — $\frac{1}{2}q$.

$(\frac{1}{3}p+\frac{1}{2}q)^3 = (\frac{1}{3}p)^3 + 3 \cdot (\frac{1}{3}p)^2 \cdot (\frac{1}{2}q) + 3 \cdot (\frac{1}{3}p) \cdot (\frac{1}{2}q)^2 + (\frac{1}{2}q)^3$

Выполним вычисления:

$\frac{1}{27}p^3 + 3 \cdot \frac{1}{9}p^2 \cdot \frac{1}{2}q + 3 \cdot \frac{1}{3}p \cdot \frac{1}{4}q^2 + \frac{1}{8}q^3 = \frac{1}{27}p^3 + \frac{3}{18}p^2q + \frac{3}{12}pq^2 + \frac{1}{8}q^3$

Сократим дроби:

$\frac{1}{27}p^3 + \frac{1}{6}p^2q + \frac{1}{4}pq^2 + \frac{1}{8}q^3$

Ответ: $\frac{1}{27}p^3 + \frac{1}{6}p^2q + \frac{1}{4}pq^2 + \frac{1}{8}q^3$.