Номер 5.108, страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.108. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)^3$;

2) $(\frac{1}{6}x + \frac{1}{2}y)^3$;

3) $(\frac{1}{2}m - \frac{1}{7})^3$;

4) $(0,5+0,1b)^3$;

5) $(0,2m+0,1n)^3$;

6) $(0,2x+0,5y)^3$.

1) Чтобы представить выражение в виде многочлена, используем формулу куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Для выражения $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)^3$, где $x = \frac{1}{2}a$ и $y = \frac{1}{3}b$:

$(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)^3 = (\frac{1}{2}a)^3 - 3(\frac{1}{2}a)^2(\frac{1}{3}b) + 3(\frac{1}{2}a)(\frac{1}{3}b)^2 - (\frac{1}{3}b)^3$

$= \frac{1^3}{2^3}a^3 - 3(\frac{1^2}{2^2}a^2)(\frac{1}{3}b) + 3(\frac{1}{2}a)(\frac{1^2}{3^2}b^2) - \frac{1^3}{3^3}b^3$

$= \frac{1}{8}a^3 - 3 \cdot \frac{1}{4}a^2 \cdot \frac{1}{3}b + 3 \cdot \frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{9}b^2 - \frac{1}{27}b^3$

$= \frac{1}{8}a^3 - \frac{3}{12}a^2b + \frac{3}{18}ab^2 - \frac{1}{27}b^3$

Сокращая дроби, получаем:

$= \frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{4}a^2b + \frac{1}{6}ab^2 - \frac{1}{27}b^3$.

Ответ: $\frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{4}a^2b + \frac{1}{6}ab^2 - \frac{1}{27}b^3$.

2) Чтобы представить выражение в виде многочлена, используем формулу куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Для выражения $(\frac{1}{6}x + \frac{1}{2}y)^3$, где $x = \frac{1}{6}x$ и $y = \frac{1}{2}y$:

$(\frac{1}{6}x + \frac{1}{2}y)^3 = (\frac{1}{6}x)^3 + 3(\frac{1}{6}x)^2(\frac{1}{2}y) + 3(\frac{1}{6}x)(\frac{1}{2}y)^2 + (\frac{1}{2}y)^3$

$= \frac{1}{216}x^3 + 3(\frac{1}{36}x^2)(\frac{1}{2}y) + 3(\frac{1}{6}x)(\frac{1}{4}y^2) + \frac{1}{8}y^3$

$= \frac{1}{216}x^3 + \frac{3}{72}x^2y + \frac{3}{24}xy^2 + \frac{1}{8}y^3$

Сокращая дроби, получаем:

$= \frac{1}{216}x^3 + \frac{1}{24}x^2y + \frac{1}{8}xy^2 + \frac{1}{8}y^3$.

Ответ: $\frac{1}{216}x^3 + \frac{1}{24}x^2y + \frac{1}{8}xy^2 + \frac{1}{8}y^3$.

3) Чтобы представить выражение в виде многочлена, используем формулу куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Для выражения $(\frac{1}{2}m - \frac{1}{7})^3$, где $x = \frac{1}{2}m$ и $y = \frac{1}{7}$:

$(\frac{1}{2}m - \frac{1}{7})^3 = (\frac{1}{2}m)^3 - 3(\frac{1}{2}m)^2(\frac{1}{7}) + 3(\frac{1}{2}m)(\frac{1}{7})^2 - (\frac{1}{7})^3$

$= \frac{1}{8}m^3 - 3(\frac{1}{4}m^2)(\frac{1}{7}) + 3(\frac{1}{2}m)(\frac{1}{49}) - \frac{1}{343}$

$= \frac{1}{8}m^3 - \frac{3}{28}m^2 + \frac{3}{98}m - \frac{1}{343}$.

Ответ: $\frac{1}{8}m^3 - \frac{3}{28}m^2 + \frac{3}{98}m - \frac{1}{343}$.

4) Чтобы представить выражение в виде многочлена, используем формулу куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Для выражения $(0,5 + 0,1b)^3$, где $x = 0,5$ и $y = 0,1b$:

$(0,5 + 0,1b)^3 = (0,5)^3 + 3(0,5)^2(0,1b) + 3(0,5)(0,1b)^2 + (0,1b)^3$

$= 0,125 + 3(0,25)(0,1b) + 3(0,5)(0,01b^2) + 0,001b^3$

$= 0,125 + 0,75 \cdot 0,1b + 1,5 \cdot 0,01b^2 + 0,001b^3$

$= 0,125 + 0,075b + 0,015b^2 + 0,001b^3$

Запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней $b$):

$0,001b^3 + 0,015b^2 + 0,075b + 0,125$.

Ответ: $0,001b^3 + 0,015b^2 + 0,075b + 0,125$.

5) Чтобы представить выражение в виде многочлена, используем формулу куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Для выражения $(0,2m + 0,1n)^3$, где $x = 0,2m$ и $y = 0,1n$:

$(0,2m + 0,1n)^3 = (0,2m)^3 + 3(0,2m)^2(0,1n) + 3(0,2m)(0,1n)^2 + (0,1n)^3$

$= (0,2)^3m^3 + 3(0,2)^2m^2(0,1n) + 3(0,2m)(0,1)^2n^2 + (0,1)^3n^3$

$= 0,008m^3 + 3(0,04m^2)(0,1n) + 3(0,2m)(0,01n^2) + 0,001n^3$

$= 0,008m^3 + 0,012m^2n + 0,006mn^2 + 0,001n^3$.

Ответ: $0,008m^3 + 0,012m^2n + 0,006mn^2 + 0,001n^3$.

6) Чтобы представить выражение в виде многочлена, используем формулу куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Для выражения $(0,2x + 0,5y)^3$, где $x = 0,2x$ и $y = 0,5y$:

$(0,2x + 0,5y)^3 = (0,2x)^3 + 3(0,2x)^2(0,5y) + 3(0,2x)(0,5y)^2 + (0,5y)^3$

$= (0,2)^3x^3 + 3(0,2)^2x^2(0,5y) + 3(0,2x)(0,5)^2y^2 + (0,5)^3y^3$

$= 0,008x^3 + 3(0,04x^2)(0,5y) + 3(0,2x)(0,25y^2) + 0,125y^3$

$= 0,008x^3 + 0,06x^2y + 0,15xy^2 + 0,125y^3$.

Ответ: $0,008x^3 + 0,06x^2y + 0,15xy^2 + 0,125y^3$.