Номер 5.105, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.105. Представьте многочлен в виде куба суммы или куба разности двух выражений:

1) $x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$;

2) $8+12x+6x^2+x^3$;

3) $27-27b+9b^2-b^3$;

4) $a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3$;

5) $0,008+0,12a+0,6a^2+a^3$;

6) $\frac{m^3}{27}-m^2n+9mn^2-27n^3$.

1) Чтобы представить многочлен $x³-3x²y+3xy²-y³$ в виде куба, воспользуемся формулой куба разности двух выражений: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В данном многочлене можно предположить, что $a=x$ и $b=y$. Проверим соответствие членов формуле:

Первый член: $a^3 = x^3$.

Второй член: $-3a^2b = -3x^2y$.

Третий член: $3ab^2 = 3xy^2$.

Четвертый член: $-b^3 = -y^3$.

Все члены совпадают, следовательно, многочлен является кубом разности $x$ и $y$.

$x³-3x²y+3xy²-y³ = (x-y)^3$.

Ответ: $(x-y)^3$.

2) Рассмотрим многочлен $8+12x+6x²+x³$.

Для представления в виде куба воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Предположим, что $a=2$ и $b=x$, так как $a^3=2^3=8$ и $b^3=x^3$.

Проверим средние члены:

$3a^2b = 3 \cdot 2^2 \cdot x = 3 \cdot 4 \cdot x = 12x$.

$3ab^2 = 3 \cdot 2 \cdot x^2 = 6x^2$.

Все члены многочлена совпадают с разложением куба суммы $(2+x)$.

$8+12x+6x²+x³ = (2+x)^3$.

Ответ: $(2+x)^3$.

3) Дан многочлен $27-27b+9b²-b³$.

Здесь используется формула куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Предположим, что $a=3$ и $b=b$, поскольку $a^3=3^3=27$ и $b^3=b^3$.

Проверим соответствие остальных членов формуле:

$-3a^2b = -3 \cdot 3^2 \cdot b = -3 \cdot 9 \cdot b = -27b$.

$3ab^2 = 3 \cdot 3 \cdot b^2 = 9b^2$.

Члены многочлена полностью соответствуют формуле куба разности для $a=3$ и $b=b$.

$27-27b+9b²-b³ = (3-b)^3$.

Ответ: $(3-b)^3$.

4) Дан многочлен $a³+6a²b+12ab²+8b³$.

Все знаки - плюсы, значит, это куб суммы: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$.

Определим $A$ и $B$. Первый член $a^3$, значит $A=a$. Последний член $8b^3 = (2b)^3$, значит $B=2b$.

Проверим средние члены:

$3A^2B = 3 \cdot a^2 \cdot (2b) = 6a^2b$.

$3AB^2 = 3 \cdot a \cdot (2b)^2 = 3 \cdot a \cdot 4b^2 = 12ab^2$.

Все члены совпадают. Следовательно, многочлен является кубом суммы $a$ и $2b$.

$a³+6a²b+12ab²+8b³ = (a+2b)^3$.

Ответ: $(a+2b)^3$.

5) Дан многочлен $0,008+0,12a+0,6a²+a³$.

Это формула куба суммы: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$.

Первый член $0,008 = (0,2)^3$, значит, можно предположить, что $A=0,2$. Последний член $a^3$, значит, $B=a$.

Проверим средние члены:

$3A^2B = 3 \cdot (0,2)^2 \cdot a = 3 \cdot 0,04 \cdot a = 0,12a$.

$3AB^2 = 3 \cdot 0,2 \cdot a^2 = 0,6a^2$.

Все члены совпадают. Значит, это куб суммы $0,2$ и $a$.

$0,008+0,12a+0,6a²+a³ = (0,2+a)^3$.

Ответ: $(0,2+a)^3$.

6) Рассмотрим многочлен $\frac{m³}{27}-m²n+9mn² - 27n³$.

Знаки чередуются, что соответствует формуле куба разности: $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

Первый член $\frac{m^3}{27} = (\frac{m}{3})^3$, значит $A = \frac{m}{3}$.

Последний член $-27n^3 = -(3n)^3$, значит $B=3n$.

Проверим средние члены, подставив $A = \frac{m}{3}$ и $B=3n$:

$-3A^2B = -3 \cdot (\frac{m}{3})^2 \cdot (3n) = -3 \cdot \frac{m^2}{9} \cdot 3n = -\frac{9m^2n}{9} = -m^2n$.

$3AB^2 = 3 \cdot (\frac{m}{3}) \cdot (3n)^2 = m \cdot 9n^2 = 9mn^2$.

Все члены многочлена соответствуют разложению куба разности $(\frac{m}{3}-3n)$.

$\frac{m³}{27}-m²n+9mn² - 27n³ = (\frac{m}{3}-3n)^3$.

Ответ: $(\frac{m}{3}-3n)^3$.