Номер 5.104, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.104. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $ \left(4m + \frac{1}{3}n\right)^3 $

2) $ \left(\frac{2}{3}x - 3y\right)^3 $

3) $ \left(\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b\right)^3 $

4) $ \left(\frac{1}{6}x + 2y\right)^3 $

5) $ (0,2x - 5y)^3 $

6) $ (3a - 0,6b)^3 $

7) $ (0,1m - 4n)^3 $

8) $ (0,5a + 0,16)^3 $

1) Для представления выражения в виде многочлена используем формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

$(4m + \frac{1}{3}n)^3 = (4m)^3 + 3 \cdot (4m)^2 \cdot (\frac{1}{3}n) + 3 \cdot (4m) \cdot (\frac{1}{3}n)^2 + (\frac{1}{3}n)^3$

$= 64m^3 + 3 \cdot 16m^2 \cdot \frac{1}{3}n + 12m \cdot \frac{1}{9}n^2 + \frac{1}{27}n^3$

$= 64m^3 + 16m^2n + \frac{4}{3}mn^2 + \frac{1}{27}n^3$

Ответ: $64m^3 + 16m^2n + \frac{4}{3}mn^2 + \frac{1}{27}n^3$.

2) Для представления выражения в виде многочлена используем формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

$(\frac{2}{3}x - 3y)^3 = (\frac{2}{3}x)^3 - 3 \cdot (\frac{2}{3}x)^2 \cdot (3y) + 3 \cdot (\frac{2}{3}x) \cdot (3y)^2 - (3y)^3$

$= \frac{8}{27}x^3 - 3 \cdot \frac{4}{9}x^2 \cdot 3y + 2x \cdot 9y^2 - 27y^3$

$= \frac{8}{27}x^3 - 4x^2y + 18xy^2 - 27y^3$

Ответ: $\frac{8}{27}x^3 - 4x^2y + 18xy^2 - 27y^3$.

3) Для представления выражения в виде многочлена используем формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

$(\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b)^3 = (\frac{1}{3}a)^3 + 3 \cdot (\frac{1}{3}a)^2 \cdot (\frac{1}{2}b) + 3 \cdot (\frac{1}{3}a) \cdot (\frac{1}{2}b)^2 + (\frac{1}{2}b)^3$

$= \frac{1}{27}a^3 + 3 \cdot \frac{1}{9}a^2 \cdot \frac{1}{2}b + a \cdot \frac{1}{4}b^2 + \frac{1}{8}b^3$

$= \frac{1}{27}a^3 + \frac{1}{6}a^2b + \frac{1}{4}ab^2 + \frac{1}{8}b^3$

Ответ: $\frac{1}{27}a^3 + \frac{1}{6}a^2b + \frac{1}{4}ab^2 + \frac{1}{8}b^3$.

4) Для представления выражения в виде многочлена используем формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

$(\frac{1}{6}x + 2y)^3 = (\frac{1}{6}x)^3 + 3 \cdot (\frac{1}{6}x)^2 \cdot (2y) + 3 \cdot (\frac{1}{6}x) \cdot (2y)^2 + (2y)^3$

$= \frac{1}{216}x^3 + 3 \cdot \frac{1}{36}x^2 \cdot 2y + \frac{1}{2}x \cdot 4y^2 + 8y^3$

$= \frac{1}{216}x^3 + \frac{1}{6}x^2y + 2xy^2 + 8y^3$

Ответ: $\frac{1}{216}x^3 + \frac{1}{6}x^2y + 2xy^2 + 8y^3$.

5) Для представления выражения в виде многочлена используем формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

$(0,2x - 5y)^3 = (0,2x)^3 - 3 \cdot (0,2x)^2 \cdot (5y) + 3 \cdot (0,2x) \cdot (5y)^2 - (5y)^3$

$= 0,008x^3 - 3 \cdot 0,04x^2 \cdot 5y + 0,6x \cdot 25y^2 - 125y^3$

$= 0,008x^3 - 0,6x^2y + 15xy^2 - 125y^3$

Ответ: $0,008x^3 - 0,6x^2y + 15xy^2 - 125y^3$.

6) Для представления выражения в виде многочлена используем формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

$(3a - 0,6b)^3 = (3a)^3 - 3 \cdot (3a)^2 \cdot (0,6b) + 3 \cdot (3a) \cdot (0,6b)^2 - (0,6b)^3$

$= 27a^3 - 3 \cdot 9a^2 \cdot 0,6b + 9a \cdot 0,36b^2 - 0,216b^3$

$= 27a^3 - 16,2a^2b + 3,24ab^2 - 0,216b^3$

Ответ: $27a^3 - 16,2a^2b + 3,24ab^2 - 0,216b^3$.

7) Для представления выражения в виде многочлена используем формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

$(0,1m - 4n)^3 = (0,1m)^3 - 3 \cdot (0,1m)^2 \cdot (4n) + 3 \cdot (0,1m) \cdot (4n)^2 - (4n)^3$

$= 0,001m^3 - 3 \cdot 0,01m^2 \cdot 4n + 0,3m \cdot 16n^2 - 64n^3$

$= 0,001m^3 - 0,12m^2n + 4,8mn^2 - 64n^3$

Ответ: $0,001m^3 - 0,12m^2n + 4,8mn^2 - 64n^3$.

8) Для представления выражения в виде многочлена используем формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

$(0,5a + 0,1b)^3 = (0,5a)^3 + 3 \cdot (0,5a)^2 \cdot (0,1b) + 3 \cdot (0,5a) \cdot (0,1b)^2 + (0,1b)^3$

$= 0,125a^3 + 3 \cdot 0,25a^2 \cdot 0,1b + 1,5a \cdot 0,01b^2 + 0,001b^3$

$= 0,125a^3 + 0,075a^2b + 0,015ab^2 + 0,001b^3$

Ответ: $0,125a^3 + 0,075a^2b + 0,015ab^2 + 0,001b^3$.