Номер 5.103, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.103. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(x+y)^3$;
2) $(c-d)^3$;
3) $(p+q)^3$;
4) $(p-q)^3$;
5) $(2+a)^3$;
6) $(3-b)^3$;
7) $(x-2)^3$;
8) $(4+x)^3$;
9) $(a+2b)^3$.

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

1) $(x+y)³$

Применяем формулу куба суммы, где $a=x$ и $b=y$.

$(x+y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot y + 3 \cdot x \cdot y^2 + y^3$

Ответ: $x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

2) $(c-d)³$

Применяем формулу куба разности, где $a=c$ и $b=d$.

$(c-d)^3 = c^3 - 3 \cdot c^2 \cdot d + 3 \cdot c \cdot d^2 - d^3$

Ответ: $c^3 - 3c^2d + 3cd^2 - d^3$.

3) $(p+q)³$

Применяем формулу куба суммы, где $a=p$ и $b=q$.

$(p+q)^3 = p^3 + 3 \cdot p^2 \cdot q + 3 \cdot p \cdot q^2 + q^3$

Ответ: $p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3$.

4) $(p-q)³$

Применяем формулу куба разности, где $a=p$ и $b=q$.

$(p-q)^3 = p^3 - 3 \cdot p^2 \cdot q + 3 \cdot p \cdot q^2 - q^3$

Ответ: $p^3 - 3p^2q + 3pq^2 - q^3$.

5) $(2+a)³$

Применяем формулу куба суммы, где $a=2$ и $b=a$.

$(2+a)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot a + 3 \cdot 2 \cdot a^2 + a^3 = 8 + 3 \cdot 4 \cdot a + 6a^2 + a^3 = 8 + 12a + 6a^2 + a^3$.

Запишем многочлен в стандартном виде: $a^3 + 6a^2 + 12a + 8$.

Ответ: $a^3 + 6a^2 + 12a + 8$.

6) $(3-b)³$

Применяем формулу куба разности, где $a=3$ и $b=b$.

$(3-b)^3 = 3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot b + 3 \cdot 3 \cdot b^2 - b^3 = 27 - 3 \cdot 9 \cdot b + 9b^2 - b^3 = 27 - 27b + 9b^2 - b^3$.

Запишем многочлен в стандартном виде: $-b^3 + 9b^2 - 27b + 27$.

Ответ: $-b^3 + 9b^2 - 27b + 27$.

7) $(x-2)³$

Применяем формулу куба разности, где $a=x$ и $b=2$.

$(x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 3 \cdot x \cdot 4 - 8 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

Ответ: $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

8) $(4+x)³$

Применяем формулу куба суммы, где $a=4$ и $b=x$.

$(4+x)^3 = 4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot x^2 + x^3 = 64 + 3 \cdot 16 \cdot x + 12x^2 + x^3 = 64 + 48x + 12x^2 + x^3$.

Запишем многочлен в стандартном виде: $x^3 + 12x^2 + 48x + 64$.

Ответ: $x^3 + 12x^2 + 48x + 64$.

9) $(a+2b)³$

Применяем формулу куба суммы, где первый член - $a$, а второй - $2b$.

$(a+2b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 + (2b)^3 = a^3 + 6a^2b + 3a(4b^2) + 8b^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$.

Ответ: $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$.