Номер 5.106, страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.106. Упростите выражение:

1) $8a^3+36a^2+54a+27;$

2) $125x^3-225x^2y+135xy^2-27y^3;$

3) $\frac{u^3}{8} + \frac{3u^2v}{2} + 6uv^2 + 8v^3;$

4) $0,001a^3-0,3a^2b+30ab^2-1000b^3.$

1) Данное выражение $8a^3+36a^2+54a+27$ является полным разложением куба суммы. Используем формулу куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

В нашем случае первый член $8a^3 = (2a)^3$, а последний член $27 = 3^3$.

Следовательно, можно предположить, что $x=2a$ и $y=3$.

Проверим средние члены выражения:

Второй член: $3x^2y = 3 \cdot (2a)^2 \cdot 3 = 3 \cdot 4a^2 \cdot 3 = 36a^2$.

Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot (2a) \cdot 3^2 = 6a \cdot 9 = 54a$.

Все члены соответствуют формуле, следовательно, выражение можно свернуть в куб суммы.

$8a^3+36a^2+54a+27 = (2a+3)^3$.

Ответ: $(2a+3)^3$.

2) Выражение $125x^3-225x^2y+135xy^2-27y^3$ похоже на разложение куба разности. Используем формулу куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Первый член $125x^3 = (5x)^3$, а последний член (без учета знака) $27y^3 = (3y)^3$.

Пусть $x=5x$ и $y=3y$.

Проверим средние члены выражения:

Второй член: $-3x^2y = -3 \cdot (5x)^2 \cdot (3y) = -3 \cdot 25x^2 \cdot 3y = -225x^2y$.

Третий член: $+3xy^2 = +3 \cdot (5x) \cdot (3y)^2 = 15x \cdot 9y^2 = 135xy^2$.

Все члены и их знаки соответствуют формуле, поэтому выражение можно свернуть в куб разности.

$125x^3-225x^2y+135xy^2-27y^3 = (5x-3y)^3$.

Ответ: $(5x-3y)^3$.

3) В выражении $\frac{u^3}{8}+\frac{3u^2v}{2}+6uv^2+8v^3$ все знаки положительные, что указывает на формулу куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Первый член $\frac{u^3}{8} = (\frac{u}{2})^3$, а последний член $8v^3 = (2v)^3$.

Пусть $x=\frac{u}{2}$ и $y=2v$.

Проверим средние члены:

Второй член: $3x^2y = 3 \cdot (\frac{u}{2})^2 \cdot (2v) = 3 \cdot \frac{u^2}{4} \cdot 2v = \frac{6u^2v}{4} = \frac{3u^2v}{2}$.

Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot (\frac{u}{2}) \cdot (2v)^2 = \frac{3u}{2} \cdot 4v^2 = 3u \cdot 2v^2 = 6uv^2$.

Выражение является полным кубом суммы.

$\frac{u^3}{8}+\frac{3u^2v}{2}+6uv^2+8v^3 = (\frac{u}{2}+2v)^3$.

Ответ: $(\frac{u}{2}+2v)^3$.

4) Выражение $0,001a^3-0,3a^2b+30ab^2-1000b^3$ имеет чередующиеся знаки, что соответствует формуле куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Первый член $0,001a^3 = (0,1a)^3$, а последний член (без знака) $1000b^3 = (10b)^3$.

Пусть $x=0,1a$ и $y=10b$.

Проверим средние члены:

Второй член: $-3x^2y = -3 \cdot (0,1a)^2 \cdot (10b) = -3 \cdot 0,01a^2 \cdot 10b = -0,3a^2b$.

Третий член: $+3xy^2 = +3 \cdot (0,1a) \cdot (10b)^2 = 0,3a \cdot 100b^2 = 30ab^2$.

Все члены соответствуют формуле, значит, выражение можно свернуть.

$0,001a^3-0,3a^2b+30ab^2-1000b^3 = (0,1a-10b)^3$.

Ответ: $(0,1a-10b)^3$.