Номер 5.102, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.102. Разложите на множители:

1) $a^2+4b^2-9c^2-4ab$;

2) $x^3+x^2-xy^2-y^2$.

1)Чтобы разложить на множители выражение $a^2+4b^2-9c^2-4ab$, сгруппируем первые два и четвертый члены. Заметим, что они образуют формулу квадрата разности.

Переставим члены: $a^2 - 4ab + 4b^2 - 9c^2$.

Сгруппируем первые три члена: $(a^2 - 4ab + 4b^2) - 9c^2$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a-2b)^2$, так как $a^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a-2b)^2$.

Подставим это в наше выражение: $(a-2b)^2 - 9c^2$.

Теперь мы получили разность квадратов, так как $9c^2 = (3c)^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

В нашем случае $x = a-2b$ и $y = 3c$.

Получаем: $(a-2b)^2 - (3c)^2 = ((a-2b) - 3c)((a-2b) + 3c)$.

Раскрыв внутренние скобки, получим окончательный вид: $(a-2b-3c)(a-2b+3c)$.

Ответ: $(a-2b-3c)(a-2b+3c)$.

2)Чтобы разложить на множители выражение $x^3+x^2-xy^2-y^2$, применим метод группировки.

Сгруппируем первые два члена и последние два члена: $(x^3+x^2) + (-xy^2-y^2)$.

Вынесем общий множитель за скобки из каждой группы. Из первой группы вынесем $x^2$, а из второй $-y^2$.

$x^2(x+1) - y^2(x+1)$.

Теперь мы видим общий множитель $(x+1)$, который также можно вынести за скобки: $(x+1)(x^2-y^2)$.

Выражение во второй скобке, $x^2-y^2$, является разностью квадратов. Разложим его по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Получаем: $(x+1)(x-y)(x+y)$.

Ответ: $(x+1)(x-y)(x+y)$.