Номер 5.96, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.96. Разложите на множители:

1) $a^{3n} - b^{6m}$;

2) $8x^{9k} + 27y^{6p}$;

3) $\frac{a^{6m}}{64} - 125c^{27n}$.

1) Для разложения на множители выражения $a^{3n}-b^{6m}$ используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Сначала представим каждый член исходного выражения в виде куба:

$a^{3n} = (a^n)^3$

$b^{6m} = b^{2m \cdot 3} = (b^{2m})^3$

Теперь выражение имеет вид $(a^n)^3 - (b^{2m})^3$. Подставим $x = a^n$ и $y = b^{2m}$ в формулу разности кубов:

$(a^n - b^{2m})((a^n)^2 + a^n \cdot b^{2m} + (b^{2m})^2) = (a^n - b^{2m})(a^{2n} + a^n b^{2m} + b^{4m})$.

Ответ: $(a^n - b^{2m})(a^{2n} + a^nb^{2m} + b^{4m})$.

2) Для разложения выражения $8x^{9k}+27y^{6p}$ используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$8x^{9k} = 2^3 \cdot x^{3k \cdot 3} = (2x^{3k})^3$

$27y^{6p} = 3^3 \cdot y^{2p \cdot 3} = (3y^{2p})^3$

Теперь выражение имеет вид $(2x^{3k})^3 + (3y^{2p})^3$. Подставим $x = 2x^{3k}$ и $y = 3y^{2p}$ в формулу суммы кубов:

$(2x^{3k} + 3y^{2p})((2x^{3k})^2 - 2x^{3k} \cdot 3y^{2p} + (3y^{2p})^2) = (2x^{3k} + 3y^{2p})(4x^{6k} - 6x^{3k}y^{2p} + 9y^{4p})$.

Ответ: $(2x^{3k} + 3y^{2p})(4x^{6k} - 6x^{3k}y^{2p} + 9y^{4p})$.

3) Для разложения выражения $\frac{a^{6m}}{64}-125c^{27n}$ используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$\frac{a^{6m}}{64} = \frac{(a^{2m})^3}{4^3} = (\frac{a^{2m}}{4})^3$

$125c^{27n} = 5^3 \cdot c^{9n \cdot 3} = (5c^{9n})^3$

Теперь выражение имеет вид $(\frac{a^{2m}}{4})^3 - (5c^{9n})^3$. Подставим $x = \frac{a^{2m}}{4}$ и $y = 5c^{9n}$ в формулу разности кубов:

$(\frac{a^{2m}}{4} - 5c^{9n})((\frac{a^{2m}}{4})^2 + \frac{a^{2m}}{4} \cdot 5c^{9n} + (5c^{9n})^2) = (\frac{a^{2m}}{4} - 5c^{9n})(\frac{a^{4m}}{16} + \frac{5a^{2m}c^{9n}}{4} + 25c^{18n})$.

Ответ: $(\frac{a^{2m}}{4} - 5c^{9n})(\frac{a^{4m}}{16} + \frac{5a^{2m}c^{9n}}{4} + 25c^{18n})$.