Номер 5.111, страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.111. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(a^2+b^2)^3;$

2) $(x^2-y^2)^3;$

3) $(2m^2-3n^2)^3;$

4) $(2a^3-3b^2)^3;$

5) $(4m^3+5n^2)^3;$

6) $(10p^4-6q^2)^3;$

7) $(7u^3-9v^4)^3;$

8) $(10x^3+3y^2)^3.$

1) Для того чтобы представить выражение $(a^2+b^2)^3$ в виде многочлена, воспользуемся формулой куба суммы: $(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$. В данном случае $x = a^2$ и $y = b^2$.

Подставим наши значения в формулу:

$(a^2+b^2)^3 = (a^2)^3 + 3(a^2)^2(b^2) + 3(a^2)(b^2)^2 + (b^2)^3$

Теперь упростим каждый член многочлена, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$

$3(a^2)^2(b^2) = 3a^{2 \cdot 2}b^2 = 3a^4b^2$

$3(a^2)(b^2)^2 = 3a^2b^{2 \cdot 2} = 3a^2b^4$

$(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$

Собрав все члены вместе, получим итоговый многочлен:

$a^6+3a^4b^2+3a^2b^4+b^6$

Ответ: $a^6+3a^4b^2+3a^2b^4+b^6$

2) Для выражения $(x^2-y^2)^3$ воспользуемся формулой куба разности: $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$. Здесь $a = x^2$ и $b = y^2$.

Подставим в формулу:

$(x^2-y^2)^3 = (x^2)^3 - 3(x^2)^2(y^2) + 3(x^2)(y^2)^2 - (y^2)^3$

Упростим выражение, применяя свойство степеней:

$x^{2 \cdot 3} - 3x^{2 \cdot 2}y^2 + 3x^2y^{2 \cdot 2} - y^{2 \cdot 3} = x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$

Ответ: $x^6-3x^4y^2+3x^2y^4-y^6$

3) Представим в виде многочлена $(2m^2-3n^2)^3$. Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$, где $a = 2m^2$ и $b = 3n^2$.

$(2m^2-3n^2)^3 = (2m^2)^3 - 3(2m^2)^2(3n^2) + 3(2m^2)(3n^2)^2 - (3n^2)^3$

Раскроем скобки и упростим:

$2^3(m^2)^3 - 3(2^2(m^2)^2)(3n^2) + 3(2m^2)(3^2(n^2)^2) - 3^3(n^2)^3$

$= 8m^6 - 3(4m^4)(3n^2) + 3(2m^2)(9n^4) - 27n^6$

Перемножим коэффициенты:

$= 8m^6 - 36m^4n^2 + 54m^2n^4 - 27n^6$

Ответ: $8m^6-36m^4n^2+54m^2n^4-27n^6$

4) Для выражения $(2a^3-3b^2)^3$ применим формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$, где $x = 2a^3$ и $y = 3b^2$.

$(2a^3-3b^2)^3 = (2a^3)^3 - 3(2a^3)^2(3b^2) + 3(2a^3)(3b^2)^2 - (3b^2)^3$

Выполним вычисления:

$8(a^3)^3 - 3(4(a^3)^2)(3b^2) + 3(2a^3)(9(b^2)^2) - 27(b^2)^3$

$= 8a^9 - 3(4a^6)(3b^2) + 3(2a^3)(9b^4) - 27b^6$

$= 8a^9 - 36a^6b^2 + 54a^3b^4 - 27b^6$

Ответ: $8a^9-36a^6b^2+54a^3b^4-27b^6$

5) Представим в виде многочлена $(4m^3+5n^2)^3$. Используем формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$, где $x = 4m^3$ и $y = 5n^2$.

$(4m^3+5n^2)^3 = (4m^3)^3 + 3(4m^3)^2(5n^2) + 3(4m^3)(5n^2)^2 + (5n^2)^3$

Упростим выражение:

$4^3(m^3)^3 + 3(4^2(m^3)^2)(5n^2) + 3(4m^3)(5^2(n^2)^2) + 5^3(n^2)^3$

$= 64m^9 + 3(16m^6)(5n^2) + 3(4m^3)(25n^4) + 125n^6$

$= 64m^9 + (3 \cdot 16 \cdot 5)m^6n^2 + (3 \cdot 4 \cdot 25)m^3n^4 + 125n^6$

$= 64m^9 + 240m^6n^2 + 300m^3n^4 + 125n^6$

Ответ: $64m^9+240m^6n^2+300m^3n^4+125n^6$

6) Для выражения $(10p^4-6q^2)^3$ применим формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$, где $x = 10p^4$ и $y = 6q^2$.

$(10p^4-6q^2)^3 = (10p^4)^3 - 3(10p^4)^2(6q^2) + 3(10p^4)(6q^2)^2 - (6q^2)^3$

Выполним вычисления:

$10^3(p^4)^3 - 3(10^2(p^4)^2)(6q^2) + 3(10p^4)(6^2(q^2)^2) - 6^3(q^2)^3$

$= 1000p^{12} - 3(100p^8)(6q^2) + 3(10p^4)(36q^4) - 216q^6$

$= 1000p^{12} - 1800p^8q^2 + 1080p^4q^4 - 216q^6$

Ответ: $1000p^{12}-1800p^8q^2+1080p^4q^4-216q^6$

7) Представим в виде многочлена $(7u^3-9v^4)^3$. Используем формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$, где $x = 7u^3$ и $y = 9v^4$.

$(7u^3-9v^4)^3 = (7u^3)^3 - 3(7u^3)^2(9v^4) + 3(7u^3)(9v^4)^2 - (9v^4)^3$

Упростим выражение:

$7^3(u^3)^3 - 3(7^2(u^3)^2)(9v^4) + 3(7u^3)(9^2(v^4)^2) - 9^3(v^4)^3$

$= 343u^9 - 3(49u^6)(9v^4) + 3(7u^3)(81v^8) - 729v^{12}$

$= 343u^9 - (3 \cdot 49 \cdot 9)u^6v^4 + (3 \cdot 7 \cdot 81)u^3v^8 - 729v^{12}$

$= 343u^9 - 1323u^6v^4 + 1701u^3v^8 - 729v^{12}$

Ответ: $343u^9-1323u^6v^4+1701u^3v^8-729v^{12}$

8) Для выражения $(10x^3+3y^2)^3$ применим формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, где $a = 10x^3$ и $b = 3y^2$.

$(10x^3+3y^2)^3 = (10x^3)^3 + 3(10x^3)^2(3y^2) + 3(10x^3)(3y^2)^2 + (3y^2)^3$

Выполним вычисления:

$10^3(x^3)^3 + 3(10^2(x^3)^2)(3y^2) + 3(10x^3)(3^2(y^2)^2) + 3^3(y^2)^3$

$= 1000x^9 + 3(100x^6)(3y^2) + 3(10x^3)(9y^4) + 27y^6$

$= 1000x^9 + (3 \cdot 100 \cdot 3)x^6y^2 + (3 \cdot 10 \cdot 9)x^3y^4 + 27y^6$

$= 1000x^9 + 900x^6y^2 + 270x^3y^4 + 27y^6$

Ответ: $1000x^9+900x^6y^2+270x^3y^4+27y^6$