Номер 5.114, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.114. Упростите выражение:

1) $1000x^9 + 100x^6y^2 + \frac{10}{3}x^3y^4 + \frac{1}{27}y^6$

2) $8x^5+36x^4+54x^3+27x^2$

3) $125x^4y-225x^3y^2+135x^2y^3-27xy^4$

4) $27a^3b-27a^3b^2+9a^3b^3-a^3b^4$

1) Для упрощения выражения $1000x^9 + 100x^6y^2 + \frac{10}{3}x^3y^4 + \frac{1}{27}y^6$ воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Представим первый и последний члены выражения в виде кубов, чтобы найти $a$ и $b$.

Первый член: $1000x^9 = (10x^3)^3$. Отсюда, $a = 10x^3$.

Последний член: $\frac{1}{27}y^6 = (\frac{1}{3}y^2)^3$. Отсюда, $b = \frac{1}{3}y^2$.

Теперь проверим, соответствуют ли средние члены выражения членам формулы $3a^2b$ и $3ab^2$.

$3a^2b = 3 \cdot (10x^3)^2 \cdot (\frac{1}{3}y^2) = 3 \cdot 100x^6 \cdot \frac{1}{3}y^2 = 100x^6y^2$. Этот член совпадает со вторым членом исходного выражения.

$3ab^2 = 3 \cdot (10x^3) \cdot (\frac{1}{3}y^2)^2 = 3 \cdot 10x^3 \cdot \frac{1}{9}y^4 = \frac{30}{9}x^3y^4 = \frac{10}{3}x^3y^4$. Этот член совпадает с третьим членом исходного выражения.

Так как все члены совпадают с формулой куба суммы, исходное выражение можно свернуть в $(10x^3 + \frac{1}{3}y^2)^3$.

Ответ: $(10x^3 + \frac{1}{3}y^2)^3$.

2) Для упрощения выражения $8x^5+36x^4+54x^3+27x^2$ сначала вынесем общий множитель за скобки.

Общим множителем для всех членов является $x^2$.

$x^2(8x^3 + 36x^2 + 54x + 27)$.

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $8x^3 + 36x^2 + 54x + 27$. Оно похоже на формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Определим $a$ и $b$ для выражения в скобках.

Первый член: $8x^3 = (2x)^3$. Отсюда, $a = 2x$.

Последний член: $27 = 3^3$. Отсюда, $b = 3$.

Проверим средние члены:

$3a^2b = 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 = 9 \cdot 4x^2 = 36x^2$.

$3ab^2 = 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 = 6x \cdot 9 = 54x$.

Все члены в скобках соответствуют разложению $(2x+3)^3$.

Следовательно, исходное выражение можно записать как $x^2(2x+3)^3$.

Ответ: $x^2(2x+3)^3$.

3) Для упрощения выражения $125x^4y-225x^3y^2+135x^2y^3-27xy^4$ сначала вынесем общий множитель за скобки.

Общим множителем является $xy$.

$xy(125x^3 - 225x^2y + 135xy^2 - 27y^3)$.

Выражение в скобках $125x^3 - 225x^2y + 135xy^2 - 27y^3$ соответствует формуле куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Определим $a$ и $b$.

Первый член: $125x^3 = (5x)^3$. Отсюда, $a = 5x$.

Последний член: $27y^3 = (3y)^3$. Отсюда, $b = 3y$.

Проверим средние члены:

$3a^2b = 3 \cdot (5x)^2 \cdot (3y) = 3 \cdot 25x^2 \cdot 3y = 225x^2y$.

$3ab^2 = 3 \cdot (5x) \cdot (3y)^2 = 15x \cdot 9y^2 = 135xy^2$.

Члены выражения в скобках и их знаки соответствуют формуле $(5x-3y)^3$.

Таким образом, исходное выражение равно $xy(5x-3y)^3$.

Ответ: $xy(5x-3y)^3$.

4) Для упрощения выражения $27a^3b-27a^3b^2+9a^3b^3-a^3b^4$ сначала вынесем общий множитель за скобки.

Общим множителем является $a^3b$.

$a^3b(27 - 27b + 9b^2 - b^3)$.

Выражение в скобках $27 - 27b + 9b^2 - b^3$ является разложением куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Определим $a$ и $b$ для выражения в скобках.

Первый член: $27 = 3^3$. Отсюда, $a = 3$.

Последний член: $b^3$. Отсюда, $b = b$.

Проверим средние члены:

$3a^2b = 3 \cdot 3^2 \cdot b = 3 \cdot 9 \cdot b = 27b$.

$3ab^2 = 3 \cdot 3 \cdot b^2 = 9b^2$.

Члены выражения в скобках и их знаки соответствуют формуле $(3-b)^3$.

Таким образом, исходное выражение равно $a^3b(3-b)^3$.

Ответ: $a^3b(3-b)^3$.