Номер 5.115, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.115. Разложите на множители:

1) $(a-b)^3-a^2+2ab-b^2;$

2) $x^2+y^2+2xy-(x+y)^3;$

3) $a^2-b^2-(a-b)^3;$

4) $(m+2n)^3-m^2+4n^2;$

5) $(c-2y)^2+c^3-6c^2y+12cy^2-8y^3;$

6) $(x+3y)^2-x^3-9x^2y-27xy^2-27y^3.$

1) $(a-b)^3-a^2+2ab-b^2$

Сгруппируем последние три члена и вынесем за скобки $-1$:

$-a^2+2ab-b^2 = -(a^2-2ab+b^2)$

Выражение в скобках является полным квадратом разности, по формуле $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:

$a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$

Тогда исходное выражение принимает вид:

$(a-b)^3 - (a-b)^2$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(a-b)^2$ за скобки:

$(a-b)^2((a-b) - 1) = (a-b)^2(a-b-1)$

Ответ: $(a-b)^2(a-b-1)$

2) $x^2+y^2+2xy-(x+y)^3$

Сгруппируем первые три члена. Они образуют полный квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$

Подставим это в исходное выражение:

$(x+y)^2 - (x+y)^3$

Вынесем общий множитель $(x+y)^2$ за скобки:

$(x+y)^2(1 - (x+y)) = (x+y)^2(1-x-y)$

Ответ: $(x+y)^2(1-x-y)$

3) $a^2-b^2-(a-b)^3$

Первые два члена представляют собой разность квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Подставим это в исходное выражение:

$(a-b)(a+b) - (a-b)^3$

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a-b)((a+b) - (a-b)^2)$

Раскроем квадрат разности во внутренних скобках: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(a-b)(a+b - (a^2-2ab+b^2))$

$(a-b)(a+b-a^2+2ab-b^2)$

Ответ: $(a-b)(a+b-a^2+2ab-b^2)$

4) $(m+2n)^3-m^2+4n^2$

Преобразуем последние два члена, поменяв их местами: $-m^2+4n^2 = 4n^2-m^2$.

Это разность квадратов: $4n^2-m^2 = (2n)^2-m^2 = (2n-m)(2n+m)$.

Заметим, что $2n+m = m+2n$. Подставим это в исходное выражение:

$(m+2n)^3 + (2n-m)(m+2n)$

Вынесем общий множитель $(m+2n)$ за скобки:

$(m+2n)((m+2n)^2 + (2n-m))$

Раскроем квадрат суммы во внутренних скобках: $(m+2n)^2 = m^2+4mn+4n^2$.

$(m+2n)(m^2+4mn+4n^2 + 2n-m)$

Ответ: $(m+2n)(m^2+4mn+4n^2-m+2n)$

5) $(c-2y)^2+c^3-6c^2y+12cy^2-8y^3$

Рассмотрим вторую часть выражения: $c^3-6c^2y+12cy^2-8y^3$.

Это формула куба разности $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$, где $a=c$ и $b=2y$.

Проверим: $c^3 - 3 \cdot c^2 \cdot (2y) + 3 \cdot c \cdot (2y)^2 - (2y)^3 = c^3-6c^2y+12cy^2-8y^3$.

Таким образом, $c^3-6c^2y+12cy^2-8y^3 = (c-2y)^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$(c-2y)^2 + (c-2y)^3$

Вынесем общий множитель $(c-2y)^2$ за скобки:

$(c-2y)^2(1 + (c-2y)) = (c-2y)^2(1+c-2y)$

Ответ: $(c-2y)^2(1+c-2y)$

6) $(x+3y)^2-x^3-9x^2y-27xy^2-27y^3$

Рассмотрим вторую часть выражения: $-x^3-9x^2y-27xy^2-27y^3$.

Вынесем за скобки $-1$: $-(x^3+9x^2y+27xy^2+27y^3)$.

Выражение в скобках - это формула куба суммы $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, где $a=x$ и $b=3y$.

Проверим: $x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (3y) + 3 \cdot x \cdot (3y)^2 + (3y)^3 = x^3+9x^2y+27xy^2+27y^3$.

Таким образом, $-(x^3+9x^2y+27xy^2+27y^3) = -(x+3y)^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$(x+3y)^2 - (x+3y)^3$

Вынесем общий множитель $(x+3y)^2$ за скобки:

$(x+3y)^2(1 - (x+3y)) = (x+3y)^2(1-x-3y)$

Ответ: $(x+3y)^2(1-x-3y)$