Номер 5.121, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.121. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

Для доказательства возьмем три произвольных последовательных натуральных числа. Удобно обозначить их как $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число, большее или равное 2 (чтобы все три числа были натуральными, т.е. $ \ge 1$).

Найдем сумму кубов этих чисел. Обозначим эту сумму буквой $S$: $S = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$

Чтобы раскрыть скобки, воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Применим эти формулы к нашему выражению: $(n-1)^3 = n^3 - 3 \cdot n^2 \cdot 1 + 3 \cdot n \cdot 1^2 - 1^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1$ $(n+1)^3 = n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 1 + 3 \cdot n \cdot 1^2 + 1^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$

Теперь подставим полученные выражения обратно в формулу для суммы $S$: $S = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Удобно заметить, что некоторые члены взаимно уничтожаются: $S = (n^3 + n^3 + n^3) + (-3n^2 + 3n^2) + (3n + 3n) + (-1 + 1)$ $S = 3n^3 + 0 + 6n + 0$ $S = 3n^3 + 6n$

Чтобы показать, что полученное выражение делится на 3, вынесем общий множитель 3 за скобки: $S = 3(n^3 + 2n)$

Поскольку $n$ является натуральным числом, то $n^3$ и $2n$ также являются натуральными числами. Их сумма, $n^3 + 2n$, тоже будет натуральным числом. Если мы обозначим $k = n^3 + 2n$, где $k$ — некоторое целое число, то наша сумма примет вид $S = 3k$. По определению, число делится на 3, если его можно представить в виде произведения числа 3 и некоторого целого числа. Следовательно, сумма кубов трех последовательных натуральных чисел всегда делится на 3.

Ответ: Что и требовалось доказать.