Номер 5.81, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.81. Разложите на множители:

1) $-a^3+b^3$;

2) $-x^8 + \frac{1}{y^3}$;

3) $a^6+1$;

4) $x^3y^3-1$;

5) $m^3n^3+8$;

6) $-\frac{1}{8} - a^3$.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
• Разность кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

1) Перепишем выражение $-a^3+b^3$ в более удобном виде: $b^3-a^3$.

Это формула разности кубов, где в качестве $a$ выступает $b$, а в качестве $b$ выступает $a$.

Применим формулу $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$b^3-a^3=(b-a)(b^2+ba+a^2)$.

Ответ: $(b-a)(b^2+ab+a^2)$.

2) Перепишем выражение $-x^3+\frac{1}{y^3}$ как $\frac{1}{y^3}-x^3$.

Представим $\frac{1}{y^3}$ в виде $(\frac{1}{y})^3$. Выражение примет вид $(\frac{1}{y})^3-x^3$.

Это разность кубов. Применим формулу, где $a=\frac{1}{y}$ и $b=x$:

$(\frac{1}{y})^3-x^3=(\frac{1}{y}-x)((\frac{1}{y})^2+\frac{1}{y} \cdot x + x^2) = (\frac{1}{y}-x)(\frac{1}{y^2}+\frac{x}{y}+x^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{y}-x)(\frac{1}{y^2}+\frac{x}{y}+x^2)$.

3) Выражение $a^6+1$ можно представить как сумму кубов, если записать $a^6$ как $(a^2)^3$, а $1$ как $1^3$.

Получаем $(a^2)^3+1^3$.

Используем формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=a^2$ и $y=1$:

$(a^2)^3+1^3 = (a^2+1)((a^2)^2 - a^2 \cdot 1 + 1^2) = (a^2+1)(a^4-a^2+1)$.

Ответ: $(a^2+1)(a^4-a^2+1)$.

4) Выражение $x^3y^3-1$ представим как разность кубов.

Запишем $x^3y^3$ как $(xy)^3$, а $1$ как $1^3$. Получаем $(xy)^3-1^3$.

Используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=xy$ и $b=1$:

$(xy)^3-1^3 = (xy-1)((xy)^2+xy \cdot 1+1^2) = (xy-1)(x^2y^2+xy+1)$.

Ответ: $(xy-1)(x^2y^2+xy+1)$.

5) Выражение $m^3n^3+8$ представим как сумму кубов.

Запишем $m^3n^3$ как $(mn)^3$, а $8$ как $2^3$. Получаем $(mn)^3+2^3$.

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=mn$ и $b=2$:

$(mn)^3+2^3 = (mn+2)((mn)^2-mn \cdot 2+2^2) = (mn+2)(m^2n^2-2mn+4)$.

Ответ: $(mn+2)(m^2n^2-2mn+4)$.

6) В выражении $-\frac{1}{8}-a^3$ вынесем минус за скобку: $-(\frac{1}{8}+a^3)$.

Выражение в скобках представим как сумму кубов. Запишем $\frac{1}{8}$ как $(\frac{1}{2})^3$. Получаем $(\frac{1}{2})^3+a^3$.

Применим формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=\frac{1}{2}$ и $y=a$:

$(\frac{1}{2})^3+a^3 = (\frac{1}{2}+a)((\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} \cdot a + a^2) = (\frac{1}{2}+a)(\frac{1}{4}-\frac{a}{2}+a^2)$.

Вернем вынесенный за скобку минус:

$-(\frac{1}{2}+a)(\frac{1}{4}-\frac{a}{2}+a^2)$.

Ответ: $-(\frac{1}{2}+a)(\frac{1}{4}-\frac{a}{2}+a^2)$.