Номер 5.75, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.75. Разложите многочлен на множители:

1) $x^3+y^3$;

2) $x^3-y^3$;

3) $m^3-n^3$;

4) $m^3+n^3$;

5) $p^3+q^3$;

6) $p^3-q^3$;

7) $a^3+8$;

8) $a^3-8$;

9) $m^3+27$;

10) $n^3-27$;

11) $1-x^3$;

12) $1+y^3$.

1) Для разложения многочлена $x^3+y^3$ на множители используется формула сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном выражении $a=x$ и $b=y$. Применяя формулу, получаем:

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Ответ: $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

2) Для разложения многочлена $x^3-y^3$ на множители используется формула сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном выражении $a=x$ и $b=y$. Применяя формулу, получаем:

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Ответ: $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

3) Для разложения многочлена $m^3-n^3$ на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном выражении $a=m$ и $b=n$. Применяя формулу, получаем:

$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$.

Ответ: $(m - n)(m^2 + mn + n^2)$.

4) Для разложения многочлена $m^3+n^3$ на множители используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном выражении $a=m$ и $b=n$. Применяя формулу, получаем:

$m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$.

Ответ: $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$.

5) Для разложения многочлена $p^3+q^3$ на множители используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном выражении $a=p$ и $b=q$. Применяя формулу, получаем:

$p^3 + q^3 = (p + q)(p^2 - pq + q^2)$.

Ответ: $(p + q)(p^2 - pq + q^2)$.

6) Для разложения многочлена $p^3-q^3$ на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном выражении $a=p$ и $b=q$. Применяя формулу, получаем:

$p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$.

Ответ: $(p - q)(p^2 + pq + q^2)$.

7) Для разложения многочлена $a^3+8$ на множители, представим число $8$ в виде куба: $8 = 2^3$. Выражение примет вид $a^3+2^3$. Теперь применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x=a$ и $y=2$.

$a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

Ответ: $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

8) Для разложения многочлена $a^3-8$ на множители, представим число $8$ в виде куба: $8 = 2^3$. Выражение примет вид $a^3-2^3$. Теперь применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x=a$ и $y=2$.

$a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

Ответ: $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

9) Для разложения многочлена $m^3+27$ на множители, представим число $27$ в виде куба: $27 = 3^3$. Выражение примет вид $m^3+3^3$. Теперь применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где в нашем случае переменные $a=m$ и $b=3$.

$m^3 + 3^3 = (m + 3)(m^2 - m \cdot 3 + 3^2) = (m + 3)(m^2 - 3m + 9)$.

Ответ: $(m + 3)(m^2 - 3m + 9)$.

10) Для разложения многочлена $n^3-27$ на множители, представим число $27$ в виде куба: $27 = 3^3$. Выражение примет вид $n^3-3^3$. Теперь применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=n$ и $b=3$.

$n^3 - 3^3 = (n - 3)(n^2 + n \cdot 3 + 3^2) = (n - 3)(n^2 + 3n + 9)$.

Ответ: $(n - 3)(n^2 + 3n + 9)$.

11) Для разложения многочлена $1-x^3$ на множители, представим число $1$ в виде куба: $1 = 1^3$. Выражение примет вид $1^3-x^3$. Теперь применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=1$ и $b=x$.

$1^3 - x^3 = (1 - x)(1^2 + 1 \cdot x + x^2) = (1 - x)(1 + x + x^2)$.

Ответ: $(1 - x)(1 + x + x^2)$.

12) Для разложения многочлена $1+y^3$ на множители, представим число $1$ в виде куба: $1 = 1^3$. Выражение примет вид $1^3+y^3$. Теперь применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a=1$ и $b=y$.

$1^3 + y^3 = (1 + y)(1^2 - 1 \cdot y + y^2) = (1 + y)(1 - y + y^2)$.

Ответ: $(1 + y)(1 - y + y^2)$.