Номер 5.72, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.72. Докажите равенство:

1) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$;

2) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$.

1) Для доказательства равенства $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки, выполнив умножение многочлена $(a+b)$ на многочлен $(a^2-ab+b^2)$:

$(a+b)(a^2-ab+b^2) = a \cdot (a^2-ab+b^2) + b \cdot (a^2-ab+b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $-a^2b$ и $a^2b$ в сумме дают ноль, так же как и члены $ab^2$ и $-ab^2$:

$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$

Мы получили, что левая часть равенства тождественно равна правой: $a^3+b^3 = a^3+b^3$. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства равенства $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ также преобразуем его левую часть, раскрыв скобки:

$(a-b)(a^2+ab+b^2) = a \cdot (a^2+ab+b^2) - b \cdot (a^2+ab+b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

Приведем подобные слагаемые. Члены $a^2b$ и $-a^2b$ взаимно уничтожаются, так же как и члены $ab^2$ и $-ab^2$:

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$

Мы получили, что левая часть равенства тождественно равна правой: $a^3-b^3 = a^3-b^3$. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.