Номер 5.68, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.68. Докажите, что при каждом натуральном $\text{n}$ значение выражения:

1) $(2n+3)^2-(2n-1)^2$ кратно 8;

2) $(5n+1)^2-(2n-1)^2$ кратно 7.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $(2n+3)^2-(2n-1)^2$ кратно 8, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. В данном случае $a = 2n+3$ и $b = 2n-1$. Преобразуем выражение: $(2n+3)^2-(2n-1)^2 = ((2n+3)-(2n-1))((2n+3)+(2n-1)) = (2n+3-2n+1)(2n+3+2n-1) = 4(4n+2)$. Теперь вынесем общий множитель 2 из второй скобки: $4 \cdot 2(2n+1) = 8(2n+1)$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $(2n+1)$ также является целым числом. Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения числа 8 и целого числа, что доказывает его кратность 8 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано, что выражение кратно 8.

2) Для доказательства того, что значение выражения $(5n+1)^2-(2n-1)^2$ кратно 7, также применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. Здесь $a = 5n+1$ и $b = 2n-1$. Преобразуем выражение: $(5n+1)^2-(2n-1)^2 = ((5n+1)-(2n-1))((5n+1)+(2n-1)) = (5n+1-2n+1)(5n+1+2n-1) = (3n+2)(7n)$. Это выражение можно записать как $7n(3n+2)$. Поскольку $n$ — натуральное число, то произведение $n(3n+2)$ является целым числом. Таким образом, исходное выражение представляет собой произведение числа 7 и целого числа, что доказывает его кратность 7 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано, что выражение кратно 7.