Номер 5.69, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.69. На сторонах прямоугольника построены квадраты (рис. 5.4). Площадь одного квадрата на 95 $ \text{см}^2 $ больше площади другого. Найдите периметр прямоугольника, если известно, что длина прямоугольника на 5 см больше его ширины.

Рис. 5.4

Пусть `a` — длина прямоугольника, а `b` — его ширина (в см).

Из условия задачи известно, что длина прямоугольника на 5 см больше его ширины. Это можно записать в виде уравнения:

$a = b + 5$

Или, что то же самое:

$a - b = 5$

На сторонах прямоугольника построены квадраты. Площадь квадрата, построенного на длине, равна $S_a = a^2$. Площадь квадрата, построенного на ширине, равна $S_b = b^2$.

По условию, площадь одного квадрата на 95 см² больше площади другого. Так как $a > b$, то и $a^2 > b^2$. Следовательно, мы можем составить второе уравнение:

$a^2 - b^2 = 95$

Для решения задачи воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Применим её ко второму уравнению:

$(a - b)(a + b) = 95$

Теперь у нас есть система уравнений:

$ \begin{cases} a - b = 5 \\ (a - b)(a + b) = 95 \end{cases} $

Подставим значение $(a - b)$ из первого уравнения во второе:

$5 \cdot (a + b) = 95$

Теперь найдем сумму длины и ширины прямоугольника $(a + b)$:

$a + b = \frac{95}{5}$

$a + b = 19$

Периметр прямоугольника `P` вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Мы уже нашли значение суммы $(a + b)$, поэтому можем сразу вычислить периметр.

$P = 2 \cdot 19 = 38$ (см)

Ответ: 38 см.