Номер 5.71, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.71. Представьте в виде квадрата двучлена:

1) $4a^2b^2+4ab+1$;

2) $1-xy+\frac{x^2y^2}{4}$.

1) Чтобы представить выражение $4a^2b^2+4ab+1$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

В нашем выражении можно выделить следующие компоненты:

Первый член $4a^2b^2$ является квадратом выражения $2ab$, то есть $x^2 = (2ab)^2$. Отсюда $x=2ab$.

Третий член $1$ является квадратом числа $1$, то есть $y^2 = 1^2$. Отсюда $y=1$.

Проверим, равен ли средний член $4ab$ удвоенному произведению $2xy$.

$2xy = 2 \cdot (2ab) \cdot 1 = 4ab$.

Поскольку все компоненты соответствуют формуле квадрата суммы, мы можем записать:

$4a^2b^2+4ab+1 = (2ab)^2 + 2 \cdot (2ab) \cdot 1 + 1^2 = (2ab+1)^2$.

Ответ: $(2ab+1)^2$.

2) Чтобы представить выражение $1-xy+\frac{x^2y^2}{4}$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

В нашем выражении можно выделить следующие компоненты:

Первый член $1$ является квадратом числа $1$, то есть $x^2 = 1^2$. Отсюда $x=1$.

Третий член $\frac{x^2y^2}{4}$ является квадратом выражения $\frac{xy}{2}$, то есть $y^2 = (\frac{xy}{2})^2$. Отсюда $y=\frac{xy}{2}$.

Проверим, равен ли средний член $-xy$ удвоенному произведению со знаком минус $-2xy$.

$-2xy = -2 \cdot 1 \cdot (\frac{xy}{2}) = -xy$.

Поскольку все компоненты соответствуют формуле квадрата разности, мы можем записать:

$1-xy+\frac{x^2y^2}{4} = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{xy}{2} + (\frac{xy}{2})^2 = (1-\frac{xy}{2})^2$.

Ответ: $(1-\frac{xy}{2})^2$.