Номер 5.65, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.65. Представьте в виде произведения:

1) $16a^{17}-a^{15};$

2) $m^{20} - \frac{16}{49}m^{18};$

3) $x^6-16x^2;$

4) $y^7-1\frac{7}{9}y^5.$

1) Для того чтобы представить выражение $16a^{17}-a^{15}$ в виде произведения, сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем является $a$ в наименьшей степени, то есть $a^{15}$.

$16a^{17}-a^{15} = a^{15}(16a^{2} - 1)$.

Теперь рассмотрим выражение в скобках, $16a^2 - 1$. Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В нашем случае $x^2 = 16a^2 = (4a)^2$, а $y^2 = 1 = 1^2$.

Следовательно, $16a^2 - 1 = (4a - 1)(4a + 1)$.

Подставляем полученное разложение в исходное выражение:

$a^{15}(16a^2 - 1) = a^{15}(4a - 1)(4a + 1)$.

Ответ: $a^{15}(4a-1)(4a+1)$.

2) Рассмотрим выражение $m^{20} - \frac{16}{49}m^{18}$. Вынесем за скобки общий множитель $m^{18}$.

$m^{20} - \frac{16}{49}m^{18} = m^{18}(m^2 - \frac{16}{49})$.

Выражение в скобках, $m^2 - \frac{16}{49}$, является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Здесь $x^2 = m^2$, а $y^2 = \frac{16}{49} = (\frac{4}{7})^2$.

Поэтому, $m^2 - \frac{16}{49} = (m - \frac{4}{7})(m + \frac{4}{7})$.

Окончательный вид произведения:

$m^{18}(m - \frac{4}{7})(m + \frac{4}{7})$.

Ответ: $m^{18}(m - \frac{4}{7})(m + \frac{4}{7})$.

3) Разложим на множители выражение $x^6 - 16x^2$. Сначала вынесем общий множитель $x^2$.

$x^6 - 16x^2 = x^2(x^4 - 16)$.

Выражение в скобках, $x^4 - 16$, является разностью квадратов, так как $x^4 = (x^2)^2$ и $16 = 4^2$.

$x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$.

Множитель $(x^2 - 4)$ также является разностью квадратов: $x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$.

Множитель $(x^2+4)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Собираем все множители вместе:

$x^2(x-2)(x+2)(x^2+4)$.

Ответ: $x^2(x-2)(x+2)(x^2+4)$.

4) Представим в виде произведения $y^7 - 1\frac{7}{9}y^5$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$.

Выражение принимает вид: $y^7 - \frac{16}{9}y^5$.

Вынесем за скобки общий множитель $y^5$.

$y^7 - \frac{16}{9}y^5 = y^5(y^2 - \frac{16}{9})$.

Выражение в скобках, $y^2 - \frac{16}{9}$, является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Здесь $x^2 = y^2$, а $y^2 = \frac{16}{9} = (\frac{4}{3})^2$.

Следовательно, $y^2 - \frac{16}{9} = (y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$.

Окончательный вид произведения:

$y^5(y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$.

Ответ: $y^5(y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$.